10.1. Основи обчислювальної геометрії. Базові поняття

У таких сферах, як робототехніка, системи автоматизованого програмування, комп’ютерна графіка тощо, застосовуються алгоритми, що описуються в термінах геометрії.

Обчислювальна геометрія — це галузь комп’ютерних наук, присвячена вивченню алгоритмів розв’язування геометричних задач.

У процесі розв’язування задач обчислювальної геометрії використовуються базові геометричні об’єкти: точка, відрізок, пряма, вектор, многокутник, коло.

Приклади геометричних задач: пошук координат точки перетину двох прямих; перевірка приналежності точки відрізку; перевірка приналежності точки многокутнику; обчислення площі многокутника; побудова опуклої оболонки.

Точка на площині в декартовій системі координат задається двома числами — координатами x і y, а у тривимірному просторі — трьома координатами (x , y , z). Відрізок можна задати, вказавши координати його початку й кінця, пряму — вказавши координати двох її точок.

Оскільки в обчислювальній геометрії вектор є одним з основних «інструментів», згадаємо основні відомості про нього, що вивчалися на уроках геометрії.

Вектор — це напрямлений відрізок AB, де A — точка початку (її ще називають точкою прикладання), B — точка кінця відрізку.

Вектор позначають двома великими латинськими буквами зі стрілкою або рискою зверху (AB). Вектор також позначають однією буквою (a), або буквою зі стрілкою, або буквою з рискою зверху (а). Приклади зображення векторів та їх позначення наведено на рис. 10.1.

Теорію векторів використав шотландський учений Джеймс Максвелл у працях з електромагнетизму. У 1903 році англійський учений Олівер Гевісайд надав векторному аналізу сучасний вигляд.

Вектор характеризується довжиною і напрямком.

Кожний вектор має проекцію на відповідну вісь. Проекцією вектора на вісь називають відрізок, кінцями якого є проекції точок початку й кінця вектора на задану вісь.

Довжина проекції — довжина цього відрізка. Довжину проекції інколи також називають проекцією. Проекція має знак «плюс», якщо напрямок від проекції початку до проекції кінця вектора збігається з напрямком осі, і знак «мінус», якщо ці напрямки протилежні.

Проекція дорівнює довжині початкового вектора, помноженій на косинус кута між цим вектором і віссю (рис. 10.2).

Довжиною, або модулем, вектора називають відстань між точками його кінця і початку. Довжина обчислюється за формулою

Для позначення довжини вектора часто використовують символи модуля: |a| .

Вектори бувають на колінеарні й неколінеарні.

Колінеарні вектори — це вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих (рис. 10.3). Колінеарні вектори, у свою чергу, поділяють на дві групи: однаково напрямлені (співнапрямлені) і протилежно напрямлені.

На рис. 10.3 векториоднаково напрямлені, що позначається так: а векторипротилежно напрямлені, що позначаються так:

Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і мають однакову довжину.

Два колінеарні вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називають протилежними.

Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нульовим і позначають

Одиночним вектором, або ортом, називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Орт позначають буквою , а його модуль:

Запитання для перевірки знань (письмово дати відповідь на питання)

1. Наведіть приклади задач обчислювальної геометрії.

2. Які базові об’єкти використовуються в обчислювальній геометрії?

3. Як можна задати пряму на площині?

4. Що таке вектор? Як його позначають?

5. Які вектори називають колінеарними; рівними?

6. Що називають проекцією вектора на вісь?

7. Як визначити координати вектора?

8. Як визначити модуль вектора?

Завдання для самостійного виконання №1

Можна використовувати графічний редактор, гугл-документи, інші зручні програми, або виконати в зошиті і прикріпити фото.

Завдання для самостійного виконання №2

Можна використовувати графічний редактор, гугл-документи, інші зручні програми, або виконати в зошиті і прикріпити фото.