10 клас. Геометрія. Урок 47. Вектори у просторі. Рівність векторів

Вектори у просторі. Рівність векторів

Вектор - це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком.

Вектор - напрямлений відрізок.

Під направленим відрізком розуміють впорядковану пару точок, перша з яких - точка A - називається його початком, а друга - B - його кінцем.

Позначення: $\overline{AB};$ $\overrightarrow{AB;}$ $\overline{a;}$ $\overrightarrow{a}$

Вектор, у якого початок і кінець - одна й та сама точка, називають нульовим або нуль-вектором.

$\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

Два ненульових вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Якщо ненульові вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CD}$− колінеарні і промені AB і CD співнапрямлені, то і вектори називаються співнапрямленими. Якщо промені протилежні, то вектори називаються протилежно напрямленими.

$\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow b$$\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b}$

Два ненульових вектори називають рівними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Координати вектора дорівнюють різниці координат його кінця та початку.

Нехай

$A\left(x_1;y_1;z_1\right)$; $B\left(x_2;y_2;z_2\right)$ , тоді координати вектора $\overrightarrow{AB}\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\right)$

Рівні вектори мають рівні відповідні координати, і навпаки, якщо координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.

Модулем вектора або абсолютною величиною вектора $\overrightarrow{AB}$називають довжину відрізка $\overrightarrow{AB}$

Позначення: $\overrightarrow{\vert AB\vert}$ або $\left\vert\overrightarrow{a}\right\vert$

Модуль нульового вектора дорівнює нулю. $\vert\overrightarrow{0}\vert=0$

$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}$ або

$\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{a_{1^{}}^2+a_2^2+a_3^2}$, де $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$ i $a_1=x_2-x_1,$ $a_2=y_2-y_1,$ $a_3=z_2-z_1.$

№39.1

На рисунку зображено призму ABCA₁B₁C₁, основою якої є правильний трикутник. Чи є рівними вектори:

1. $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{A_1C_1}$;

2. $\overrightarrow{AC}$ і $\overrightarrow{A_1B_1}$;

3. $\overrightarrow{BB_1}$ і $\overrightarrow{CC}_1$;

4. $\overrightarrow{BB_1}$ і $\overrightarrow{AA_1}$?

№39.2

Точки E і F — середини відповідно ребер AA₁ і AD прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁, AB ≠ AD. Укажіть вектори з початком і кінцем у вершинах паралелепіпеда, які:

1. співнапрямлені з вектором $\overrightarrow{EF}$;

2. протилежно напрямлені з вектором $\overrightarrow{AB_1}$;

3. мають рівні модулі з вектором $\overrightarrow{BC_1}$.

№39.4

Накресліть тетраедр DABC. Відкладіть:

1. від точки A вектор, рівний вектору $\overrightarrow{CA;}$

2. від точки B вектор, рівний вектору $\overrightarrow{AC}$;

3. від точки D вектор, рівний вектору $\overrightarrow{BC}$.

№39.7

Знайдіть координати вектора AB, якщо:

1. A (3; 4; 2), B (1; –4; 5);

2. A (–6; 7; –1), B (2; 9; 8).

№39.9

Знайдіть модуль вектора $\overrightarrow{m}\left(2;-5;\sqrt7\right)$

Домашнє завдання:

Вивчити п.39 (конспект), виконати № 39.3; 39.5; 39.8; 39.10.

№ 39.3. Точки M і K — середини відповідно ребер CD і CC₁ прямокутного паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть вектори з початком і кінцем у вершинах паралелепіпеда, які: 1) співнапрямлені з вектором $\overrightarrow{AD}$; 2) протилежно напрямлені з вектором $\overrightarrow{MK}$; 3) мають рівні модулі з вектором $\overrightarrow{AC_1.}$

№ 39.5.Накресліть куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Відкладіть: 1) від точки A вектор, рівний вектору $\overrightarrow{A_1A_{};}$ 2) від точки C вектор, рівний вектору $\overrightarrow{A_1C_1}$; 3) від точки D₁ вектор, рівний вектору $\overrightarrow{B_1D}$.

№ 39.8. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{CD}$, якщо C (–1; 10; 4), D (–1; 0; 2).

№ 39.10.Знайдіть модуль вектора $\overrightarrow{MK}$, якщо M (10; –4; 20), K (8; –2; 19).

Конспект