10 клас. Геометрія. Урок 23. Перпендикулярність прямої та площини.

Перпендикулярність прямої та площини

Ознака перпендикулярності прямої та площини

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Д а н о: $a\botс,a\bot b,b\in\alpha,с\in\alpha;$ $a\cap b\capс=т.А;x\in\alpha.$

Д о в е с т и: $a\bot x$

Д о в е д е н н я

1) Додаткові побудови: проводимо пряму в площині α, яка перетинає прямі$b,x,с$в точках $B,X,C,$ та відкладаємо на прямій $a$ $AA_1=AA_2.$

2) $\Delta A_1CA_2$ — рівнобедрений, бо $AC$— висота за умовою та медіана за побудовою.

3) $\Delta A_1BA_2$ — рівнобедрений, бо $AB$ — висота за умовою та медіана за побудовою

4) $\Delta A_1CB=\Delta A_2CB$(за ІІІ ознакою), бо $A_1B=A_2B$ із п.2; $A_1C=A_2C$ із п.1; $CB$ — спільна.

5) Оскільки $\angle A_1BX$ $=\angle A_2BX$ (із п.3), тоді $\Delta A_1BX=\Delta A_2BX$ (за І ознакою), бо $A_1B=BA_2$ із п.3; $BX$ — спільна.

6) Отже, $A_1X=A_2X$, тоді $\Delta A_1XA_2$— рівнобедрений.

7) З цього випливає $XA$— медіана є висотою: $XA\bot A_1A_2$

В и с н о в о к: $a\bot x$.

Наслідки:

1. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої прямої.

2. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

№5.18

№5.20

№5.22

№5.25

№5.26

Домашнє завдання:

Вивчити §5.2 (конспект), виконати № 5.17; 5.19; 5.21; 5.23; 5.24.

Конспект