10 клас. Геометрія. Урок 22. Перпендикулярність прямих у просторі

Перпендикулярність прямих у просторі

Перпендикулярні прямі у просторі – дві прямі, які перетинаються під прямим кутом.

Властивості перпендикулярних прямих у просторі

Теорема 1. Через довільну точку прямої у просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму.

Теорема 2. Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Д а н о: $a ⊥ b$, $a\in\alpha$, $b ∈ α$; $a_1||a$, $b_1||b$, $a_1\in\alpha_1$, $b_1\in\alpha_1$, $a\cap b=т.C$

Д о в е с т и: $a_1\bot b_1$

Д о в е д е н н я

1) За умовою $a\in\alpha,b\in\alpha$ і $a_1\in\alpha_1,b_1\in\alpha_1$.

2) Також $a_1||a,b_1||b$, тоді $a$ і $b||\alpha_1$.

3) Тоді$\alpha||\alpha_1.$

4) За умовою$а\cap b=т.C$, тоді $a_1\cap b_1=т.C_1$.

5) Проведемо $AA_1||CC_1$, $BB_1||CC_1$, тоді $AA_1||BB_1$

6) Тоді $CAA_1C_1$ і $CBB_1C_1$— паралелограми, отже, $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$

7) $ABB_1A_1$ — паралелограм, отже, $AB=A_1B_1$,

8) Тоді $\Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1,$ отже, $\angle A_1C_1B_1=\angle ACB=90\degree$, тоді $a_1\bot b_1$

В и с н о в о к: $a_1\bot b_1$.

Теорема 3. Через будь-яку точку простору, що не належить прямій, можна провести пряму, перпендикулярну даної.

Теорема 4. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих і лежить з ними в одній площині, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

№5.7

Обчисліть периметр $\differencedelta AB_1C$, якщо ребро куба дорівнює 1 см.

№5.9

№5.11

Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁, в якому точки 0 і 0₁ - цент­ри протилежних граней. Доведіть, що пряма ОО₁ перпендику­лярна до діагоналей цих граней.

№5.12

№5.14

1. KM i AD;

2. KM i BC.

Домашнє завдання:

Вивчити § 5.1 (конспект), виконати № 5.4; 5.6: 5.8: 5.9.

Конспект