10 клас. Геометрія. Урок 19. Паралельне проєктування, його властивості

ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЄКТУВАННЯ

ЦЕНТРАЛЬНЕ ПРОЄКТУВАННЯ

Дивлячись на дані рисунки, можна помітити:

• Зображення отримано внаслідок освітлення фігури паралельними променями

• Зображення отримано внаслідок освітлення фігури променями, що виходять з однієї точки

• Зберігається паралельність відрізків

• Не зберігається паралельність відрізків

Цікаво.

Гра «Monument Valley» створена на основі неможливих фігур (імпосибілізм)

F ­– оригінал фігури;

$\alpha$ – площина проєкції;

$l$ – проєктуюча пряма;

Через довільну точку фігури проведемо пряму, паралельну проєктуючій прямій $l$. Ця пряма перетне площину $\alpha$ в точці , тоді:

– т. в площині

Побудувавши в такий спосіб всі точки фігури отримаємо в площині фігуру .

– паралельна проєкція фігури F на площину $\alpha$.

Якщо проєктуюча пряма не лежить в одній площині з даними прямими і не паралельна жодній даній прямій, то отримаємо дві прямі.

Якщо проєктуюча пряма лежить в одній площині з даними прямими і не паралельна жодній даній прямій, то отримаємо пряму.

Якщо проєктуюча пряма лежить в одній площині з даними прямими і паралельна одній з даних прямих, то отримаємо пряму і точку.

Дві прямі, що перетинаються

Пряма

Пряма і точка

1) Проєкцією прямої є пряма; проєкцією відрізка є відрізок.

2) Проєкції паралельних прямих паралельні між собою або збігаються. Проєкції двох паралельних відрізків лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

3) Якщо відрізки лежать на одній або паралельних прямих, то відношення їх проєкцій дорівнює відношенню самих відрізків.

Наприклад:

Наслідок:

Середина відрізка проєктується в середину його проєкції.

Виберіть три фігури, які можуть бути паралельними проєкціями двох паралельних прямих.

А) Пряма;

Б) точка;

В) промінь;

Г) дві паралельні прямі;

Д) дві точки;

Е) відрізок.

Дано $l$ - напрям паралельного проєктування, $AB∦l$
Виберіть фігуру, яка може бути проєкцією відрізка $AB$.

А) Пряма;

Б) точка;

В) дві точки;

Г) промінь;

Д) відрізок.

Дано $l$ - напрям паралельного проєктування, $ABCD$ -
паралелограм, $l∦(ABCD)$. Чотирикутник $A_1B_1C_{1_{}}D_1$- проєкція
$ABCD$ на площину $\alpha$. Укажіть, якими фігурами може бути чотирикутник $A_1B_1C_{1_{}}D_1$.

А) Ромб;

Б) квадрат;

В) прямокутник;

Г) трапеція;

Д) паралелограм.

Визначте таку фігуру з умов (А-В), яка може бути паралельною проєкцією чотирьох із п’яти заданих фігур (1-5), і таку, яка не може бути паралельною проєкцією для жодної з них. (Пряма паралельного проєктування не паралельна площині фігури.)