10 клас. Геометрія. Систематизація та узагальнення матеріалу за 7-9 класи

Основні поняття планіметрії

Планіметрія вивчає такі базові геометричні об’єкти, як:

• Точка – це основне поняття в геометрії, яке не має розмірів, але визначає місце розташування на площині.

• Пряма – нескінченна лінія, яка проходить через дві або більше точок.

• Відрізок – частина прямої, обмежена двома точками.

• Кут – фігура, яка утворюється двома променями, що виходять із однієї точки.

• Трикутник – одна з основних плоских фігур, яка складається з трьох сторін і трьох кутів.

Аксіоми планіметрії

I. Аксіоми належності точок і прямих на площині

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, які не належать їй.

2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.

II. Аксіоми вимірювання

1. Кожен відрізок має певну довжину, виражену додатнім числом.

2. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які розбивається відрізок будь-якою своєю точкою.

3. Кожен кут має певну величину (градусну міру), виражену додатнім числом.

4. Величина розгорнутого кута становить 180°.

5. Величина кута дорівнює сумі величин кутів, на які розбивається даний кут променем, що виходить з вершини даного кута і проходить між його сторонами.

III. Аксіоми відкладання

1. Яка б не була півпряма, на ній від її початку можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.

2. Яка б не була півпряма, від неї в задану півплощину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, і тільки один.

IV. Аксіоми взаємного розташування точок на прямій і площині

1. Які б не були три точки прямої, одна і тільки одна з них розташована між двома іншими.

2. Пряма розбиває площину на дві півплощини.

3. Якщо на площині проведена пряма і кінці відрізка належать одній з півплощин, то цей відрізок не перетинає пряму.

4. Якщо на площині проведена пряма і кінці відрізка належать різним півплощинам, то цей відрізок перетинає пряму.

V. Аксіома паралельності

Через точку, що не належить прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

№1.1

№1.4

№1.7

№1.8

Кути

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями.

Сума суміжних кутів дорівнює 180°.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є доповняльними променями сторін другого.

Вертикальні кути рівні.

Властивості паралельних прямих

Якщо дві паралельні прямі перетинає третя, то:

1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:

∠1 + ∠2 = 180°;

2) внутрішні різносторонні кути рівні: ∠1 = ∠3;

3) відповідні кути рівні: ∠1 = ∠4.

Трикутники

Залежно від міри кутів, трикутники поділяють на гострокутні, тупокутні й прямокутні.

Залежно від довжин сторін трикутники поділяють на різносторонні, рівнобедрені й рівносторонні.

Трикутники

У будь-якому трикутнику АВС:

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику

Трикутник

Означення вписаних і описаних трикутників та їх властивості

№1.20

№1.24

№1.25

№1.27

Домашнє завдання:

Виконати №1.6; 1.9; 1.21; 1.23, пройти тестування «10 клас. Геометрія. Систематизація та узагальнення матеріалу за 7-9 класи» за посиланням https://vseosvita.ua/test/start/dol497

Підготовка до НМТ: https://zno.osvita.ua/mathematics/tema.html