10 клас. Геометрія. Повторення теми "Перпендикулярність прямих і площин у просторі"

Перпендикулярність прямих у просторі

Перпендикулярні прямі у просторі – дві прямі, які перетинаються під прямим кутом.

Властивості перпендикулярних прямих у просторі

Теорема 1. Через довільну точку прямої у просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму.

Теорема 2. Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Теорема 3. Через будь-яку точку простору, що не належить прямій, можна провести пряму, перпендикулярну даної.

Теорема 4. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих і лежить з ними в одній площині, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

Перпендикулярність прямої та площини

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

т. О – це основа перпендикуляра.

АО – перпендикуляр

Відстань від точки до площини – це довжина перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини.

АВ – похила

Похила – це відрізок, який сполучає точку, що не належить площині з точкою площини і не є перпендикуляром.

т. – це основа похилої.

ВО – проекція похилої АВ

Проекція похилої – це відрізок, який сполучає основи перпендикуляра і похилої.

Кутом між похилою і площиною називається кут між похилою і проєкцією цієї похилої на площину.

Властивості перпендикуляра й похилої

1. Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу, якщо вони проведені до площини з однієї точки.

   

2. Проєкції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проєкції, є рівними.

   

3. Більша за довжиною похила має більшу проєкцію й, навпаки, з двох похилих більша та, у якої проєкція більша.

   

Теорема про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проєкції похилої.

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності площин

Теорема. (ознака перпендикулярності площин)

Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Властивості перпендикулярних площин

1. Якщо одна з двох площин проходить через пряму перпендикулярну до іншої площини, то такі площини перпендикулярні.

   

2. Площина, перпендикулярна прямій, на якій перетинаються дві площини, перпендикулярна кожній з цих площин.

   

3. Якщо дві площини перпендикулярні і в одній з них проведена пряма перпендикулярно лінії перетину площин, то ця пряма перпендикулярна другій площині.

№1

Сторона ромба АВСD дорівнює 20 см, його площа 320 см² . Точка М віддалена від площини ромба на 15 см і однаково віддалена від його сторін. Знайти відстань від точки M до сторін ромба.

№2

До площини рівнобедреного трикутника АВС (АВ = АС) проведено перпендикуляр АК, що дорівнює 6 см. Площа трикутника АВС дорівнює 48 см², ВС = 16 см. Знайти відстань між прямими АК і ВС, а також від точки К до прямої ВС

№3

Площини рівностороннього трикутника АВС і квадрата ВСDЕ перпендикулярні. Знайти відстань між вершинами А і D якщо висота трикутника дорівнює 3 дм.