10 клас. Геометрія. Повторення теми "Кути та відстані в просторі"

Кут між двома прямими в просторі

• Прямі a і b — паралельні

  Якщо прямі паралельні, то кут між ними дорівнює 0º.

  

• Прямі a і b перетинаються

  Якщо дві прямі перетинаються, то кут між ними визначається як найменший із вертикальних кутів, утворених при перетині прямих.

  Якщо прямі перпендикулярні, то кут між ними дорівнює 90º.

  Якщо дві прямі, що перетинаються, відповідно паралельні двом іншим прямим, що перетинаються, то кут між першою парою прямих дорівнює куту між другою парою прямих.

  

• Прямі а і b є мимобіжними

  Якщо пряма a перетинає площину α в точці A, а пряма b належить площині α і мимобіжна з прямою a, то потрібно через точку A провести пряму b₁, яка паралельна прямій b. Тоді кут між прямою b₁ і прямою a й визначає кут між мимобіжними прямими a і b.

  

Кут між прямою і площиною в просторі

Кутом між прямою і площиною називають кут між похилою та її проєкцією на площину.

Пряма AC — похила, точка С — основа похилої, AB — перпендикуляр до площини α, ВС — проєкція похилої. Тоді кут ACB — кут між прямою AC та площиною α.

Кут між двома площинами в просторі

Двогранним кутом називають кут між двома площинами, які перетинаються

Лінійним кутом двогранного кута називається кут між прямими перетину двох площин третьою площиною, перпендикулярною до прямої перетину даних площин.

Кут між двома площинами, які перетинаються, — це кут між двома прямими, які належать цим площинам і перпендикулярні до прямої перетину площин.

Якщо пряма a — пряма перетину площин α і β, пряма b належить площині α, пряма c належить площині β, с ⊥ a, b ⊥ a, то кут між прямими c і b — кут між площинами α і β.

Кут між прямими c і b називають лінійним кутом двогранного кута.

Для обґрунтування градусної міри кута між площинами (двогранного кута) необхідно побудувати його лінійний кут, тобто вказати на гранях даного двогранного кута два промені зі спільним початком, які перпендикулярні до ребра двогранного кута.

Відстані у просторі

Відстань від точки до:

Відстань від прямої до:

Відстань між площинами

Відстань між мимобіжними прямими

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, що проходять через ці прямі.

№1

№2

№3

№4

Дано: ΔАВС - рівносторонній,
О - середина АВ, ОD (АВС). АВ = 6 см, ОD =3 см. Знайти:
1) пари перпендикулярних прямих;
2) пари перпендикулярних прямої і площини;
3) пари перпендикулярних площин;
4) кути між DA, DB, DC та площиною ABC;
5) відстані від т. D до площини (АВС), від С до (DАВ), від А до (DОС);
6) відстані від точки D до прямих АВ, ВС, АС.