10 клас. Алгебра. Урок 59. Точки екстремуму функції. Розв'язування вправ. Самостійна робота

ПОВТОРЕННЯ "Ознаки зростання і спадання функції"

Функція називається зростаючою на проміжку, якщо для будь-яких двох точок $x₁$ і $x₂$ з цього проміжку, таких що $x_1<x_2$ виконується нерівність $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$
Достатні умови зростання:

Якщо похідна функції $f^{\prime}\left(x\right)>0$ на деякому проміжку, то функція $f\left(x\right)$ зростає на цьому проміжку.

Функція називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких двох точок $x₁$ і$x₂$ з цього проміжку, таких що $x_1<x_2$, виконується нерівність $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Достатні умови спадання:

Якщо похідна функції $f^{\prime}\left(x\right)<0$ на деякому проміжку, то функція $f\left(x\right)$ спадає на цьому проміжку.

ПОВТОРЕННЯ "Точки екстремуму функції"

Точку $x_0$ називають точкою максимуму функції $f$, якщо існує окіл точки $x_0$ такий, що для всіх $x$ з цього околу виконується нерівність $f\left(x_0\right)\ge f(x)$

Точку $x_0$ називають точкою мінімуму функції $f$, якщо існує окіл точки $x_0$ такий, що для всіх $x$ з цього околу виконується нерівність$f(x_0)\le f(x).$

Точки максимуму і мінімуму - це точки екстремуму функції.

Ознаки точки максимуму та мінімуму функції:

1. Якщо при переході через точку $x_0$ похідна змінює знак з плюса на мінус, то $x_0$— точка максимуму.

2. якщо при переході через точку $x_0$ похідна змінює знак з мінуса на плюс, то $x_0$— точка мінімуму.

Схема знаходження точок екстремуму функції $f$

1. Знайти $f^{\prime}(x)$.

2. Дослідити знак похідної в околах критичних точок.

3. Користуючись відповідними теоремами, стосовно кожної критичної точки з’ясувати, чи є вона точкою екстремуму.

№12.12

Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:

1. $f\left(x\right)=\frac13x^3-2x^2+4x-10;$

2. $f\left(x\right)=\sin x-x.$

№12.14

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції:

1. $f\left(x\right)=x+\frac{4}{x^2};$

2. $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x-2};$

3. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1};$

4. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}+\frac{9}{x^2};$

5. $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2};$

6. $f\left(x\right)=-\frac{1}{\left(x-3\right)^2};$

7. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x^2-16};$

8. $f\left(x\right)=2\sqrt{x}-x.$

№12.20

При яких значеннях $a$функція $y=x^3-3ax^2+27x-5$ має тільки одну критичну точку?

Самостійна робота

Варіант 1

Самостійна робота

Варіант 2

Домашнє завдання:

Повторити п.12 (конспект), виконати № 12.13; 12.15; 12.21.