10 клас. Алгебра. Урок 56. Ознаки зростання і спадання функції

Ознаки зростання і спадання функції

Функція називається зростаючою на проміжку, якщо для будь-яких двох точок $x_1$ і $x_2$ з цього проміжку, таких що $x_1<x_2$ виконується нерівність $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$
Достатні умови зростання:

Якщо похідна функції $f^{\prime}\left(x\right)>0$ на деякому проміжку, то функція $f\left(x\right)$ зростає на цьому проміжку.

Геометрична інтерпретація:

Якщо дотична до графіка функції в точці утворює гострий кут з додатним напрямком осі Ox, то функція зростає в цій точці.

Функція називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких двох точок $x_1$ і$x_2$ з цього проміжку, таких що $x_1<x_2$, виконується нерівність $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Достатні умови спадання:

Якщо похідна функції $f^{\prime}\left(x\right)<0$ на деякому проміжку, то функція $f\left(x\right)$ спадає на цьому проміжку.

Геометрична інтерпретація:

Якщо дотична до графіка функції в точці утворює тупий кут з додатним напрямком осі Ox, то функція спадає в цій точці.

Функція називається сталою на проміжку, якщо для будь-яких двох точок $x_1$ і $x_2$ з цього проміжку значення функції рівні, тобто $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

Геометрична інтерпретація:

Якщо дотична до графіка функції в точці паралельна осі Ox, то функція стала в цій точці.

Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Дослідження функції $f(x)$ на зростання (спадання):

1. знайти область визначення функції D(f);

2. знайти похідну функції f’(x);

3. знайти критичні точки функції;

4. поділити критичними точками область визначення функції на проміжки та з’ясувати знак похідної на кожному з них;

5. вказати проміжки монотонності (зростання/спадання) функції.

№11.1

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1. $f\left(x\right)=x^2+4x-7;$

2. $f\left(x\right)=2x^3-3x^2+1;$

3. $f\left(x\right)=-x^3+9x^2+21x;$

4. $f\left(x\right)=x^4-2x^2-3;$

5. $f\left(x\right)=x^3+4x-8;$

6. $f\left(x\right)=\frac14x^4-8x+9.$

№11.3

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:

1. $f\left(x\right)=x^4-4x^3+4x^2-1;$

2. $f\left(x\right)=\frac14x^4-\frac13x^3-7;$

3. $f\left(x\right)=\frac15x^5-\frac{10}{3}x^3+9x-6;$

4. $f\left(x\right)=x^2+\frac{2}{x};$

5. $f\left(x\right)=x+\frac{9}{x};$

6. $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x+2};$

7. $f\left(x\right)=\frac{x^2-2x+1}{3-x};$

8. $f\left(x\right)=\frac{x}{x^2-9}.$

№11.5

На рисунку зображено графік похідної диференційовної на $R$ функції $f.$ Укажіть проміжки спадання функції$f$.

Домашнє завдання:

Вивчити п.11 (конспект), виконати № 11.2; 11.4; 11.7.

Конспект