10 клас. Алгебра. Урок 44. Розв’язування тригонометричних рівнянь. Самостійна робота

Розв’язування тригонометричних рівнянь

1. Найпростіші тригонометричні рівняння

   1) $\sin x=b$, $\vert b\vert\le1$

   $x=\left(-1\right)^{n}arc\sin^{\placeholder{}}⁡b+\pi n,n\in Z$

   Окремі випадки $\sin x=b$

   $\sin x=1$	$\sin x=0$	$\sin x=-1$
   $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in Z$	$x=\pi n$, $$$ n\in Z $$$	$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in Z$

   2) $сosx=b$, $\vert b\vert\le1$

   $x=\pm arccos^{\placeholder{}}⁡b+2\pi n,n\in Z$

   Окремі випадки $$$ сosx=b $$$

   $сosx=1$	$сosx=0$	$сosx=-1$
   $x=2\pi n$, $n\in Z$	$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$, $$$ n\in Z $$$	$x=\pi+2\pi n$, $n\in Z$

   3) $\tg x=b$

   $x=arc\tg⁡b+\pi n,n\in Z$

   4) $c\tg x=b$

   $x=arcc\tg⁡b+\pi n,n\in Z$

2. Тригонометричні рівняння, які розв'язуються способом зведення до алгебраїчних

   Приклад 1. Розв'яжіть рівняння $2\sin^2x+\sin x-1=0$

   Зробимо заміну $\sin x=t$, тоді $2t^2+t-1=0$, $D=1-4\cdot2\cdot\left(-1\right)=9,$ $t_1=\frac12;$ $t_2=-1$.

   Отже,$\sin x=\frac12$; $x=\left(-1\right)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,$ $n\in Z$

   $\sin x=-1,$ $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$ $n\in Z$

   Відповідь: $\left(-1\right)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$$ $$$ n\in Z $$$

   Приклад 2. Розв'яжіть рівняння$\sin x-\cos x=0$

   Якщо $\cos x=0,$ то з даного рівняння випливає, що $\sin x=0.$ Але $\sin x$ i $\cos x$ не можуть одночасно бути рівними нулю, оскільки має місце рівність $\sin^2x+\cos^2x=1.$

   Отже, множина коренів даного рівняння складається з таких чисел $x,$ при яких $\cos x\ne0$

   Поділимо обидві частини даного рівняння на $\cos x$, отримаємо $\tg x-1=0;$ $\tg x=1;$ $x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$

   Відповідь: $\frac{\pi}{4}+\pi n,$ $n\in Z$

3. Тригонометричні рівняння, які розв'язуються способом розкладання на множники

   Приклад 3. Розв'яжіть рівняння $\cos x+\cos3x=0$

   Скористаємося формулою суми косинусів

   $2\cos2x\cos x=0;$

   $\cos x=0;$ , $$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$$, $n\in Z$

   або $\cos2x=0,$ $$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$$, $n\in Z$; $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$ $$$ n\in Z $$$

   Відповідь: $\frac{\pi}{2}+\pi n,$ $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},$ $$$ n\in Z $$$

№843

Розв'яжіть рівняння:

1. $4\cos x\sin x=\tg x+\ctg x;$

2. $3\cos x+2\tg x=0;$

3. $8\sin^2x+4\sin^22x+8\cos2x=5;$

4. $3+5\cos x=\sin^4x-\cos^4x;$

5. $\cos2x-9\cos x+6=4\sin^2\frac{x}{2}.$

№862

1. $\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{3x}{2}=1;$

2. $\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=1,5;$

3. $\cos2x-\cos8x+\cos6x=1;$

4. $1-\cos x=\tg x-\sin x;$

5. $\sin x+\sin3x=4\cos^2x;$

6. $\cos2x=\sqrt2\left(\cos x-\sin x\right);$

7. $\sin^2x+\sin^22x-\sin^23x-\sin^24x=0;$

8. $\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2;$

9. $\cos9x=2\sin\left(\frac{3\pi}{2-3x}\right).$

Самостійна робота з теми "Тригонометричні рівняння"

Варіант 1

Розв’яжіть тригонометричні рівняння:

1. 2sin² x – 5sin x – 7 = 0

2. 12sin² x + 20cos x – 19 = 0

3. 3sin² x + 14sin x cos x + 8cos²x = 0

4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0

5. 5sin 2x – 14cos² x + 2 = 0

6. 9cos 2x – 4cos²x = 11sin 2x + 9

Варіант 2

Розв’яжіть тригонометричні рівняння:

1. 10cos² x – 17cos x + 6 = 0

2. 2cos² x + 5sin x + 5 = 0

3. 6sin² x + 13sin x cos x + 2cos²x = 0

4. 5 tg x – 4ctg x + 8 = 0

5. 6cos² x + 13sin 2x = –10

6. 2sin²x + 6sin 2x = 7(1 + cos 2x)

Варіант 3

Розв’яжіть тригонометричні рівняння:

1. 3sin² x – 7sin x + 4 = 0

2. 6sin² x – 11cos x – 10 = 0

3. sin² x + 5sin x cos x + 6cos²x = 0

4. 4 tg x – 12ctg x + 13 = 0

5. 5 – 8cos² x = sin 2x

6. 7sin 2x + 9cos 2x = –7

Варіант 4

Розв’яжіть тригонометричні рівняння:

1. 10cos² x + 17cos x + 6 = 0

2. 3cos² x + 10sin x – 10 = 0

3. 2sin²x + 9sin x cos x + 10cos²x = 0

4. 3 tg x – 12ctg x + 5 = 0

5. 10sin² x – 3sin 2x = 8

6. 11sin 2x – 6cos²x + 8cos 2x = 8

Домашнє завдання:

Повторити п.31-36, виконати № 836 (4, 7, 10), 840, 842