10 клас. Алгебра. Урок 34. Формули подвійного кута

14.01.2026

0 0

Алгебра

10 Клас

119

Завантажити урок 2

10 клас. Алгебра

провести урок серед своїх учнів на основі цього уроку

призначити в журнал демонстрація уроку пройти урок у демо-режимі Створити урок на базі цього або додати запитання до вже існуючого уроку

Опис уроку (учням цей опис не показується):

Мета уроку: вивести і засвоїти формули подвійного та половинного кута, формули пониження степеня.

Джерела використаної інформації:

А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. Алгебра і початки аналізу, 10 клас
А.Г. Мерзляк, В.Б Полонський, Ю.М. Рабінович, М.С. Якір. Збірник задач і контрольних робіт для 10 класу. Алгебра

Вміст уроку:

Опис, який учні побачать перед початком уроку

Формули подвійного кута

Сьогодні на уроці:

Формули подвійного кута
Формули пониження степеня
Формули половинного аргументу

Урок не містить жодного завдання. Додайте завдання.

Щоб додати завдання, оберіть категорію завдання на панелі запитань.

Додати завдання

Формули подвійного кута

$sin⁡(α+β)=sin⁡α cos⁡β+cos⁡α sin⁡β$

$α=β$

$sin⁡(α+α)=sin⁡α cos⁡α+sin⁡α cos⁡α$ $\rArr$ $sin⁡2\alpha=2sin⁡\alpha cos\alpha$

$cos⁡(\alpha+\beta)=cos⁡\alpha cos⁡\beta-sin⁡\alpha sin⁡\beta$

$\alpha=\beta$

$cos⁡(\alpha+\alpha)=cos⁡\alpha cos⁡\alpha-sin⁡\alpha sin⁡\alpha$ $\rArr$ $cos⁡2\alpha=cos^2⁡\alpha-sin^2⁡\alpha$

$cos^2⁡α=1-sin^2⁡α$ $\rArr$ $cos⁡2\alpha=1-2sin^2⁡\alpha$

$sin^2⁡α=1-cos^2⁡α$ $\rArr$ $cos⁡2\alpha=2cos^2⁡\alpha-1$

$tg⁡(\alpha+\alpha)=\frac{tg⁡\alpha+tg⁡\alpha}{1-tg⁡\alpha tg⁡\alpha}$ $\rArr$ $tg⁡2\alpha=\frac{2tg⁡\alpha}{1-tg^2⁡\alpha}$

Формули пониження степеня

$cos⁡2α=1-2 sin^2⁡α$ $\rArr$ $2 sin^2⁡α=1-cos⁡2α$ $\rArr$ $sin^2⁡\alpha=\frac{1-cos⁡2\alpha}{2}$

$sin^2⁡\alpha=\frac{1-cos⁡2\alpha}{2}$ $\rArr$ $2 cos^2⁡α=1+cos⁡2α$ $\rArr$ $2cos^2⁡\alpha=\frac{1+cos⁡2\alpha}{2}$

$tg^2⁡\alpha=\frac{sin^2⁡\alpha}{cos^2⁡\alpha}=(\frac{1-cos⁡2\alpha}{2}):(\frac{1+cos⁡2\alpha}{2})=\frac{1-cos⁡2\alpha}{2}\cdot\frac{2}{1+cos⁡2\alpha}=\frac{1-cos⁡2\alpha}{1+cos⁡2\alpha}$ $\rArr$ $tg^2⁡\alpha=\frac{1-cos⁡2\alpha}{1+cos⁡2\alpha}$

Формули половинного аргументу

$sin^2⁡\alpha=\frac{1-cos⁡2\alpha}{2}$ $\rArr$ $sin^2⁡\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos⁡\alpha}{2}$

$cos^2⁡\alpha=\frac{1+cos⁡2\alpha}{2}$ $\rArr$ $cos^2⁡\frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos⁡\alpha}{2}$

$tg^2⁡\alpha=\frac{1-cos⁡2\alpha}{1+cos⁡2\alpha}$ $\rArr$ $tg^2⁡\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos⁡\alpha}{1+cos⁡\alpha}$

1 з 24 балів

№690

Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:

$\cos\alpha;$
$\sin3\alpha;$
$\tg\frac{\alpha}{2};$
$\cos8\alpha;$
$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right);$
$\tg7\alpha.$

2 з 24 балів

№692

Спростіть вираз:

1) $\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha};$	5) $\frac{\cos44^{\circ}+\sin^222^{\cdot\circ}}{\cos^222^{\circ}};$	9) $\frac{\sin^2\alpha\ctg\alpha}{\sin2\alpha};$	13) $\cos^4\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)-\sin^4\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right);$
2) $\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha};$	6) $\frac{\cos2\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha};$	10) $\left(\sin\varphi-\cos\varphi\right)^2+\sin2\varphi;$	14) $\frac{\left(\sin\alpha+\cos\right)^2-\sin2\alpha}{\cos2\alpha+2\sin^2\alpha};$
3) $\cos2\alpha+\sin^2\alpha;$	7) $1-2\sin^2\frac{\alpha}{2};$	11) $\left(\sin\frac{\alpha}{4}+\cos\frac{\alpha}{4}\right)\left(\sin\frac{\alpha}{4}-\cos\frac{\alpha}{4}\right);$	15) $\frac{\tg\left(45^{\circ}+\alpha\right)}{1-\tg^2\left(45^{\circ}+\right)};$
4) $\frac{\sin50^{\circ}}{2\cos25^{\circ};}$	8) $\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha\tg\alpha};$	12) $\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1-2\sin^2\alpha}$	16) $4\sin\alpha\cos^3\alpha-4\sin^3\alpha\cos\alpha.$