6 клас
1. У родині четверо дітей, їм 5, 8, 13 і 15 років, а звуть їх Таня, Юра, Світлана та Олена. Одна дівчинка ходить у дитячий садок, Таня старше, ніж Юра, а сума років Тані і Світлани ділиться на 3. З’ясувати, скільки років кожній дитині. Відповідь обґрунтувати.
Розв’язання. Оскільки у дитячий садок ходить дівчинка, те це точно не Юра, якому не менш 8, тому що Таня старше Юри, їй 13 або 15, а так як сума років Тані та Світлани ділиться на 3, те це тільки 13, адже 15 у сумі з будь-яким іншим віком не ділиться на три. Отже, Тані - 13 років. Оскільки Таня старше Юри, а йому не менш 8, то Юрі 8 років. Тепер, сума віків Тані та Світлани ділиться на три, Тані 13, а Світлані 5 або 15, друге не підходить, а значить Світлані 5 років. Залишається Олена - їй 15 років.
Відповідь: Світлані 5 років, Юрі 8 років, Тані 13 років, Олені 15 років.
2. На мапі кожна з чотирьох країн має форму трикутника. Як можуть бути розташовані ці країни, якщо в кожної з них є спільний кордон з трьома іншими? Зробити малюнок.
Відповідь: один з можливих розв’язків зображений на рисунку.
3. Квадрат деякого натурального числа записується цифрами 0, 2, 3, 5 (кожна цифра входить до запису квадрата числа тільки один раз). Знайти це число.
Розв’язання: Квадрат жодного натурального числа не закінчується цифрами 2 і 3. Одним нулем квадрат числа теж закінчуватися не може. Отже, дане число закінчується цифрою 5. Квадрати чисел, запис яких закінчується цифрою 5, мають в записі дві останні цифри 25. Нулем число починатися не може, отже перша цифра 3. Тоді друга – нуль. Дане число – 3025=552 .
Відповідь: 3025.
4. Михайлик і Віталій купили по одній коробці чаю у пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Михайликові коробки вистачило тільки на 41 чашку, а Віталію – на 58. Скільки пакетиків було в коробці? Відповідь обґрунтувати.
Розв’язання. Михайлик не міг використати більше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не менше 21*2 =42 чашок. Віталій не міг використати менше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не більше 19*3 = 57 чашок. Таким чином, у коробці 20 пакетиків чаю. Розв’язання було б не повним, якби ми не вказали спосіб випити 41 і 58 чашок чаю, виходячи із 20 пакетиків. Так, Михайлик 19 разів заварив пакетик на 2 чашки чаю і 1 раз – на 3. Віталій 18 разів заварив пакетик на 3 чашки і двічі – на 2.
Відповідь: 20 пакетиків.
7 клас
1. За 9 однакових книжок заплатили більше ніж 11 грн, але менше ніж
12 грн. За 13 таких книжок заплатили 15 грн і декілька копійок, але не
більше ніж 16 грн. Яка вартість однієї книжки?
2. Довести, що добуток п’яти послідовних цілих чисел ділиться на 120.
3. Як можуть троє на двомісному мотоциклі за час, не більший, ніж 3
години, подолати шлях у 60 км, якщо швидкість мотоцикла 50км/год, а
пішохода – 5км/год.
4. Двоє гравців по черзі на стіл прямокутної форми ставлять фігурки
∆ або Ō так, щоб вони не накривалися та не виходили за межі столу.
Виграє той, хто покладе останню фігурку. Хто з гравців (перший чи
другий) може забезпечити собі виграш? Відповідь обґрунтувати.
5. Скільки існує трикутників, довжини сторін яких є цілими числами, а
периметр дорівнює 30?
8 клас
1. Розв’яжіть рівняння: 6х+ 4у = 2017 на множині цілих чисел.
2. Пасажир їде в поїзді, швидкість якого 60 км/год., і бачить, що повз вікно
проїжджає зустрічний поїзд за 4 с. Яка швидкість зустрічного поїзда, якщо
його довжина 120 м?
3. Заданий ромб, у якого усі сторони та одна з діагоналей рівні 6 см.
Всередині або на сторонах цього ромба вибирають довільним чином 9 точок.
Доведіть, що принаймні дві з них знаходяться на відстані не більшій від 3 см.
4. Усі натуральні числа від 1 до 100 розбили на дві групи: парні та непарні
числа. Визначте, в якій з груп сума всіх цифр, що використовується для
запису їхніх чисел, більша і на скільки.
5. Майстер проводив сеанс одночасної гри в шахи. За перші дві години він
виграв 10% партій, а 8 партій програв. До закінчення сеансу він виграв у
10% суперників, що залишилися, одну партію програв, а останні 8 партій
звів у нічию. На скількох дошках проводилась гра?