Числові нерівності

Сьогодні, ми спробували вивчити нову тему проходячи квест.

Якщо ви читаєте це повідомлення, то вам це вдалося!

Успіхів вам у навчання та до нових зустрічей!

Для розв’язання цього завдання необхідно було створити математичну модель задачі.

Якщо позначити кількість м’ячів через n, то їх вартість становитиме 220⋅n грн.

Щоб сума коштів на закупівлю м’ячів була меншою ніж 3000 грн., має виконуватись умова: 220⋅n < 3000.

Кількість м’ячів є натуральним числом. Найбільшим натуральним значенням n, яке задовольняє умову 220⋅n < 3000, є n = 13. Отже, на виділені кошти можна придбати 13 м’ячів.

Запис 220⋅n < 3000 відрізняється від відомого вам запису
220⋅n = 3000 тим, що замість знака «=» використано знак «<».

Тому ключем до наступного об'єкта буде слово "менше".

А об'єктом буде дівчина, яка збирається вдарити по м'ячу.

Прямуємо далі!

Запам'ятовуємо та зановуємо!

Два вирази, які з’єднані між собою знаками «>», «<», «≤»,«≥», називають нерівностями.

Нерівності, у яких обидві частини є числовими виразами, називають числовими нерівностями.

Числові нерівності бувають:

• правильними (істинними), наприклад:
  14 > 2,4; - 3 > - 14 ; > ; < 3

• неправильними (хибними), наприклад:
  18 > 24; - 13 > - 4 ; < ; > 11

Укажіть серед наведених числових нерівностей правильні:

а) 16 < 45; б) -36 > -2; в) 67 > -160; г) -27>-2.

Ключем будуть маленькі букви, що позначають відповідь на поставлене запитання.

А об'єктом, до якого дійсний цей ключ, є воротар з команди дівчат.

Прямуємо до дівчинки-воротаря!

Ви вже вмієте порівнювати між собою натуральні числа, цілі числа, десяткові дроби (тобто дійсні числа), використовуючи певні правила. Сьогодні ви познайомитеся з методом порівняння чисел і виразів, який має назву метод різниці.

Розгляньте приклади, наведені в таблиці. Для кожної правильної нерівності та рівності знайдено різницю чисел, розташованих у лівій і правій частинах, та порівнюється цю різниця з нулем.

Чи помітили ви залежність між значенням шуканої різниці та знаками «>», «< », «=»?

Залежно від знака різниці роблять висновок про результат порівняння чисел.

Тому переходимо до воротаря з іншої команди і ключем слугуватиме слово "висновок".

То ж вперед!

Запам'ятовуємо та занотовуємо!

Число a більше за число b, якщо різниця a – b є додатним числом. Число a менше від числа b, якщо різниця a - b є від’ємним числом, тобто

Якщо a > b, то a − b > 0, і навпаки, якщо a − b > 0, то a > b.

Якщо a < b, то a – b < 0, і навпаки, якщо a − b < 0, то a < b.

Якщо a = b, то a − b = 0, і навпаки, якщо a – b = 0, то a = b.

Для порівняння двох чисел a і b досить утворити різницю a– bі з’ясувати, яким числом вона є: додатним, від’ємним чи нулем. Такий метод порівняння називають методом різниці.

Використовуючи метод різниці, порівняйте і .

Не забудьте результат порівняння (менше чи більше) - це ключ до наступного об'єкта.

А ним буде хлопчик, що знаходиться найближче до воротаря.

Йдемо далі!

Нагадаємо, що на координатній прямій меншому числу відповідає точка, що лежить зліва від точки, що відповідає більшому числу. На малюнку точка, що відповідає числу m, лежить зліва від точки, що відповідає числу n, тому m < n.

Позначте на координатній прямій точки, що відповідають числам s, t і p, якщо s < t і p > t. Яке з чисел лежить правіше?

Позначення цього числа - ключ до наступного об'єкта.

Наступний об'єкт - хлопчик найближчий до м'яча.

Побігли!

Запам'ятовуємо і занотовуємо!

Нерівності бувають строгими і нестрогими:

• знаки «>» і «<» є знаками строгих нерівностей;

• знаки «≥» і «≤ » є знаками нестрогих нерівностей.

Знаки «≥» читають: «більше або дорівнює», або «не менше»
і «≤ » – «менше або дорівнює», або «не більше».

З означення співвідношень «більше», «менше» і «дорівнює» доходимо висновку, що a ≥ b, якщо a – b ≥ 0, і a ≤ b, якщо a – b ≤ 0.

Вкажіть, які з нерівностей можуть одночасно виконуватися:

1) a > b і a < b;
2) a ≥ b і a ≤ b.

Ключем до наступного об'єкта є номер правильної відповіді.

Об'єкт до якого ми перейдемо, це рослина, що знаходиться лівіше і вона доволі не маленька.

Вперед!

У ході вивчення математики постає питання доведення правильності нерівностей (часто кажуть «доведення нерівностей»). Існують різні методи доведення: геометричної інтерпретації, доведення «від супротивного», використання раніше доведених нерівностей тощо. Одним із найпоширеніших є метод різниці.

Це словосполучення і буде ключем до прикладів доведення нерівностей.

Їх ми розглядатимемо у будівлях, починай з лівішої.

До прикладів!

Приклад 1. Доведіть нерівність (а + 3)(а + 1) > а×(а + 4).

Доведення. Утворимо різницю лівої та правої частин нерівності й спростимо її.

(а + 3)(а + 1) – а×(а + 4) = a² + а + 3а + 3 – a² – 4а = 3.

Проаналізуємо знак результату. 3 > 0. Оскільки різниця додатна, то ліва частина нерівності більша за праву, тобто (а + 3)(а + 1) > а×(а + 4).

Ключем до наступної будівлі, а ми йдемо зліва направо, буде число 3.

Рухаємося далі!

Приклад 2. Доведіть, що для будь-якого значення a справджується нерівність
(a– 3)² > (a– 2)(a– 4).

Доведення. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:

(a – 3)² – (a – 2)(a – 4) = a² – 6a + 9 – (a² – 2a – 4a +8) = a² – 6a + 9 – a² + 6a – 8 = 1.

Так як 1 > 0, то і з різниці (a – 3)² – (a – 2)(a– 4) > 0 для будь-якого значення a справджується нерівність (a – 3)² > (a– 2)(a– 4), що й треба було довести.

Умову для даного завдання можна було сформулювати коротше, наприклад: довести нерівність (a – 3)² > (a– 2)(a– 4).

Ключем до третьої будівлі (рахуємо зліва направо) буде слово "нерівність".

Йдемо далі!

Приклад 3. Довести нерівність 2(х – 8) ≤ х(х – 6).

Доведення. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності та спростимо її:

2(х – 8) – х(х – 6) = 2х – 16 – х² + 6х = –х² + 8х – 16 = –(х² – 8х + 16) = –(х – 4)².

Оскільки (х – 4)² ≥ 0 для будь-якого значення х, то –(х – 4)² ≤ 0. Отже, за означенням, нерівність 2(х – 8) ≤ х(х – 6) є правильною при будь-якому х, що й треба було довести.

Пам'ятаємо, що будь-яке число в квадраті є невід'ємним.

Слово "невід'ємне" є ключем до наступного будинку.

Прямуємо далі!

Нагадаємо, що число називають середнім арифметичним чисел a і b. Для невід’ємних чисел a і b число називають їх середнім геометричним.

Приклад 4. Довести, що середнє арифметичне двох невід’ємних чисел a і b не менше їх середнього геометричного (нерівність Коші):

, де a ≥ 0, b ≥ 0.

Доведення. Розглянемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її, врахувавши, що для a ≥ 0, b ≥ 0. Матимемо:

для всіх a ≥ 0 і b ≥ 0.

Отже, для будь-яких a ≥ 0, b ≥ 0, що й треба було довести.

Тепер, якщо все вивчено і прочитано всі підказки, можна прямувати до виходу з квесту - це одні з вротарських воріт.

Спробуй закінчити квест!