Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта

Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним.

х² + рх + q = 0 - загальний вигляд зведеного квадратного рівняння. Де p коефіцієнт при х і q - вільний член квадратного тричлена.

Наприклад,

х² + 2х - 14 = 0, p = 2, q = -14

у² - 8у +2 = 0, p = -8, q = 2

Розв'язувати такі рівняннz можна з використанням формул коренів квадратного рівняння (через дискримінант). Але існує спосіб простіше - маєже усний.

Теорема Вієта: Якщо х₁, х₂ - корені зведеного квадратного рівняння х² + рх + q = 0, то х₁ + х₂ = -р, х₁* х₂ = q.

Приклад 1. Не розв'язуючи рівняння визначити суму та добуток коренів квадратного рівняння:
1) х² - 6х + 11 = 0; 2) 2х² - 12х - 8 = 0.

Розв'язання:
1) х² - 6х + 11 = 0; За теоремою Вієта х₁ + х₂ = -р, х₁* х₂ = q. Так як р = -6, q = 11, то х₁ + х₂ = (-6) = 6, х₁* х₂ = 11. Відповідь: сума - 6, добуток - 11.

2) 2х² - 12х - 8 = 0; Спочатку потрібно квадратне рівняння перетворити у зведене. Для цього поділимо обидві частини рівняння на 2 (так як коефіцієнт при х² стоїть 2). Отримаємо рівняння х² - 6х - 4 = 0. За теоремою Вієта х₁ + х₂ = -р, х₁* х₂ = q. Так як р = -6, q = -4, то х₁ + х₂ = (-6) = 6, х₁* х₂ = -4. Відповідь: сума - 6, добуток - (-4).

Приклад 2. Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, коренями якого є числа -4 і 7.

Розв'язання:

Так як коренями деякого квадратного рівняння є числа х₁ = -4 і х₂ = 7, то за теоремою Вієта х₁ + х₂ = -4 + 7 = 3 = -р, тоді р = -3, х₁ * х₂ = -4 * 7 = -28 = q. Складемо тепер квадратне рівняння х² + рх + qx = 0, підставивши на місця коефіцієнтів р і q їхні обчислені значення отримаємо квадратне рівняння х² - 3х - 28 = 0.

Опрацюйте по підручнику на сторінках 159-160 приклади 1-6.

Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, коренями яких є числа:
1) 2 і -5;

2) 0,2 і 3.

Відповідь запишіть у поле нижче.

Не розв'язуючи рівняння визначте суму та добуток коренів даних рівнянь:

1) х² + 3х + 5 = 0;
2) х² - 14х - 1 = 0;
3) х² + 5х - 14 = 0.

Розв'язання виконати в зошиті, сфотографувати і прикріпити фото розв'язку.