Застосування ФСМ до розкладання многочленів на множники

Теорія:

Многочлен можна розкласти на множники за допомогою формул скороченого множення, записаних у вигляді:

a²−b²=(a−b)(a+b) (різниця квадратів)

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) (різниця кубів)

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²) (сума кубів)

a²+2ab+b²=(a+b)² (квадрат суми)

a²−2ab+b²=(a−b)² (квадрат різниці)

Зауважте, що в лівій частині два або три члени.Розглянемо на прикладах.

Приклад:

Завдання 1. Розкласти на множники:

16x²−9.

Розв'язання:Скористаємося формулою різниці квадратів:

16x²−9=(4x)²−32=(4x−3)(4x+3)

Завдання 2. Розкласти на множники:

27a³−8b³.

Розв'язання:Скористаємося формулою різниці кубів:

27a³−8b³=(3a)³−(2b)³=(3a−2b)((3a)²+3a⋅2b+(2b)²)==(3a−2b)(9a²+6ab+4b²).

Завдання 3. Розкласти на множники:

x¹²+27y³.Розв'язання:Скористаємося формулою суми кубів:

x¹²+27y³=(x⁴)³+(3y)³=(x4+3y)⋅((x⁴)²−x⁴⋅3y+(3y)²)==(x⁴+3y)(x⁸−3x⁴y+9y²).

Завдання 4. Розкласти на множники:

a⁴+2a²+1.

Розв'язання:Скористаємося формулою квадрата суми:a⁴+2a²+1=(a²)²+12+2⋅a²⋅1=(a²+1)².

Завдання 5. Розкласти на множники:

g²−4gp+4p².Розв'язання:Скористаємося формулою квадрата різниці:g²−4gp+4p²=g²+(2p)²−2⋅g⋅2p=(g−2p)². 

Класна робота

№ 1

Подайте вираз у вигляді добутку многочленів: 

1) а(b + с) + 3b + 3с; 2) р(х - у) + 7х - 7у;3) m(t - 5) + t - 5;      4) b(m - с) + с - m. 

№ 2

Розкладіть многочлен на множники:

1) ах + ау + 6х + 6y;    2) 5m – 5n + рm – рn;3) 9р + mn + 9n + mр; 4) аb + ас – b – с;5) 1 - by – у + b;          6) mа + 2а – 2m – 4.

№ 3

Подайте у вигляді добутку многочленів:

1) а3 + а2 + а + 1;      2) b5 - b3 - b2 + 1;3) с4 + 3с3 - с - 3;       4) а6 - 5а4 - 3а2 + 15;5) m2 - mn - 8m + 8n; 6) аb - 9b + b2 - 9а;7) 7t - ta + 7а - t2;      8) ху - ty - у2 + xt. 

№ 4

Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) b² + xb – x ²y - xby; 2) m² + 4m - bm - 7b;3) 4a - ax + 4x - x2;    4) ma – mb – m² + ab. 

Виконайте онлайн вправу, зробіть скріншот і прикріпіть його нижче.

Домашня робота

Логічна вправа. Яке число або вираз пропущено?