Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Означення

Визначеним інтегралом від неперервної на проміжку [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницею F(b) - F(a), де F(x) - одна з первинних для функції f(x).

Позначають визначений інтеграл так $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

Формула Ньютона-Лейбніца

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

$\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=F\left(x\right)\vert_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Для обчислення визначеного інтегралу необхідно знайти первісну від підінтегральної функції.

Властивості визначеного інтегралу

1. $\int_{a}^{b}dx=b-a$

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю. $\int_{a}^{a}f\left(x\right)\differentialD x=0$

3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=-\int_{b}^{a}f\left(x\right)\differentialD x$

4. Якщо функція f(x) інтегрована на максимальному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність $\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\differentialD x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

5. Сталий множник С можна винести за знак визначеного інтеграла $\int_{a}^{b}Cf\left(x\right)\differentialD x=C\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x$

6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\differentialD x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\differentialD x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\differentialD x$

Приклади розв'язування завдань (підручник Математика Істер О.С. - 2019)

№ 11.2

1)$\int_{-3}^0x^2dx$ знайдемо первісну для $x^2$. $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}$ тепер обчислимо інтеграл.

$\int_{-3}^0x^2dx=\frac{x^3}{3}\vert_{-3}^0=\frac{0^3}{3}-\frac{\left(-3\right)^3}{3}=0-\left(-9\right)=0+9=9$

2) $\int_4^73\differentialD x=3x\vert_4^7=3\left(7-4\right)=3\cdot3=9$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos xdx=\sin x\vert_{}_0^{\frac{\pi}{4_{}}}=\sin\frac{\pi}{4}-\sin0=\frac{\sqrt2}{2}-0=\frac{\sqrt2}{2}$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\differentialD x}{\sin^2x}=-\ctg\vert_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}=-\ctg\frac{\pi}{4}+\ctg\frac{\pi}{2}=-1+0=-1$

№11.4

1)

$\int_1^5\left(2x+1\right)\differentialD x=\int_1^52xdx+\int_1^51\differentialD x=x^2\vert_1^5+x\vert_1^5=$$=5^2-1^2+5-1=25-1+5-1=28$

2)

$\int_0^2\left(x^3-x\right)\differentialD x=\int_0^2x^3dx-\int_0^2xdx=\frac{x^4}{4}\vert_0^2-\frac{x^2}{2}\vert_0^2=$$=\frac{2^4}{4}-\frac{0^4}{4}-\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=4-2=2$

3)

$\int_1^2\frac{\differentialD x}{x^3}=\int_1^2x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}\vert_1^2=\frac{2^{-2}}{-2}-\frac{1^{-2}}{-2}=\frac18-\frac12=-\frac38$

4)

$\int_{-2}^{-1}\left(2-\frac{1}{x^4}\right)\differentialD x=\int_{-2}^{-1}2\differentialD x-\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x^4}\differentialD x=2x\vert_{-2}^{-1}-\frac{x^{-3}}{-3}\vert_{-2}^{-1}=$$=2\cdot\left(-1\right)-2\cdot\left(-2\right)-\frac{\left(-1\right)^{-3}}{-3}-\frac{\left(-2\right)^{-3}}{-3}=-2+4-\frac13+\frac{1}{24}=\frac{41}{24}$

Виконати завдання в зошиті, зробити фото і прикріпити його або надіслати в особисті

Обчисліть:

1) $\int_0^1xdx$; 2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx$; 3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\differentialD x}{\cos^2x}$;

4) $\int_{-2}^0\left(3x^2+1\right)\differentialD x$