Узагальнення та систематизація з теми "Подільність чисел"

Перший етап квесту "Дільники і кратні"

Дільником натурального числа а називається натуральне число, на яке а ділиться без остачі.

Приклади:

а) число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18;

б) число 25 має 3 дільники: 1, 5, 25;

в) число 73 має 2 дільники: 1 і 73.

Число 1 є дільником будь-якого натурального числа.

Кратним натуральному числу а називають натуральне число, яке ділиться на число а без остачі.

Приклади:

а) для числа 18 кратними є числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 і т.д.;

б) для числа 7 кратними є числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 і т.д.

Отже, треба запам'ятати:

1) будь-яке число має нескінченну кількість кратних;

2) найменшим кратним для числа є саме це число.

Другий етап квесту "Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9, 10"

Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 - непарними.

Натуральні числа називають парними, якщо вони закінчуються парною цифрою, і непарними, якщо вони закінчуються непарною цифрою.

Правило 1.. Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, то це число ділиться без остачі на 2, а якщо непарною цифрою - то число не ділиться без остачі на 2.

Приклади:

а) 8, 60, 574 - діляться на 2;

б) 13, 25, 1001 - не діляться на 2.

Правило 2. Якщо запис натурального числа закінчується на 0, то це число ділиться без остачі на 10.

Якщо запис натурального числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то воно не ділиться без остачі на 10.

Приклади:

а) 680 ділиться на 10;

б) 104 не ділиться на 10.

Правило 3. Якщо запис натурального числа закінчується цифрами 0 або 5, то це число ділиться без остачі на 5.

Якщо запис числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то число не ділиться на 5 без остачі.

Приклади:

а) 370 і 1485 діляться без остачі на 5;

б) числа 537 і 4008 без остачі на 5 не діляться.

Правило 4. Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то й число ділиться на 3. Якщо сума цифр числа не ділиться на 3, то й число не ділиться на 3.

Приклади:

а) 276 ділиться на 3, оскільки 2 + 7 + 6 = 15, а 15 ділиться на 3;

б) 563 не ділиться на 3, оскільки 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не ділиться на 3.

Правило 5. Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9. Якщо сума цифр числа не ділиться на 9, то й число не ділиться на 9.

Приклади:

а) 5787 ділиться на 9, оскільки 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а 27 ділиться на 9;

б) 359 не ділиться на 9, оскільки 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не ділиться на 9.

Отже, треба запам'ятати:

1) нуль ділиться на будь-яке натуральне число;

2) будь-яке натуральне число ділиться на 1;

3) якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться на це число;

4) якщо в добутку хоча б один із множників ділиться на деяке число, то і добуток ділиться на це число.

Третій етап квесту "Прості та складені числа"

Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і саме число.

Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.

Приклади:

а) число 9 має три дільники (1, 3 і 9), значить, воно складене;

б) число 17 має два дільники, значить, воно просте;

в) число 1 має лише один дільник - саме це число, тому воно не є ні простим, ні складеним.

Правило: Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число у вигляді добутку простих чисел - дільників даного числа.

При будь-якому способі запису одержуємо один і той самий розклад, якщо не враховувати порядку розміщення множників.

Приклади:

а) 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5; б) 1368 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 19.

Задача. Надя мешкає у семиповерховому будинку в 3-му під'їзді на 4-му поверсі. Її квартира розміщена зліва. Визначте номер квартири дівчинки, якщо на кожному поверсі є 3 квартири.

Четвертий етап квесту "НСД та НСК"

Спільним дільником двох або декількох чисел називають натуральне число на яке діляться кожне з цих чисел.

Найбільшим спільним дільником (НСД) двох або декількох чисел називають найбільше натуральне число на яке діляться кожне з цих чисел.

Якщо найбільший спільний дільник заданих чисел дорівнює 1, то такі числа називають взаємно простими.

Спільними кратними двох або декількох чисел називають числа, які одночасно діляться на задані.

Найменшим спільним кратним (НСК) двох або декількох чисел називають найменше число, яке є дільником заданих чисел.

Найменше спільне кратне взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.