Урок № 1.1. Раціональні вирази. Раціональні дроби | Алгебра, 8 клас

🎯 Після цього уроку ви зможете:

• розрізняти цілі та дробові раціональні вирази;

• визначати, чи є даний дріб раціональним дробом;

• знаходити значення раціонального виразу при заданих значеннях змінних;

• складати дробові вирази за словесним описом;

• складати раціональний вираз для розв’язування простої практичної задачі.

1. Раціональні вирази

В алгебрі ми часто працюємо з виразами, які містять числа, змінні та математичні дії.

Наприклад:

3x² − 5x

7a + 4

$\frac{m}{5}$

$\frac{2x}{x+3}$

Усі ці вирази є раціональними виразами.

Раціональні вирази поділяють на цілі та дробові.

🔹 Цілі раціональні вирази

Цілий раціональний вираз не містить ділення на вираз зі змінною.

Наприклад:

5x² − 3x + 7

a(a − 4)

$\frac{m}{7}$

(2x − 1)(x + 5)

Зверніть увагу: вираз $\frac{m}{7}$ є цілим раціональним виразом, тому що знаменник 7 — це число, а не вираз зі змінною.

🔹 Дробові раціональні вирази

Дробовий раціональний вираз містить ділення на вираз, у якому є змінна.

Наприклад:

$\frac{5}{x}$

$\frac{3}{a-2}$

$\frac{x+4}{x^2+1}$

$7+\frac{2}{m}$

💡 Як швидко визначити вид виразу?

Подивіться, чи є змінна у знаменнику дробу.

• якщо змінної у знаменнику немає — вираз цілий;

• якщо змінна є у знаменнику — вираз дробовий.

✏️ Приклад

Визначимо вид виразів:

1. 4a² − 7a — цілий раціональний вираз;

2. $\frac{b}{9}$ — цілий раціональний вираз, оскільки знаменник є числом;

3. $\frac{8}{c+1}$ — дробовий раціональний вираз;

4. $p-\frac{3}{p}$ — дробовий раціональний вираз, оскільки одна з його частин містить змінну в знаменнику.

2. Раціональний дріб

Окремим видом раціонального виразу є раціональний дріб.

Раціональний дріб — це вираз виду

$\frac{P}{Q}$,

де P і Q — многочлени.

Наприклад:

$\frac{x+3}{x-5}$

$\frac{2a^2-1}{a+7}$

$\frac{5}{m^2+4}$

У кожному з цих випадків і чисельник, і знаменник є многочленами.

⚠️ Не кожен запис із дробовою рискою є раціональним дробом

Наприклад, розглянемо вираз:

$\frac{a+\frac{1}{b}}{a-3}$

У його чисельнику міститься дріб $\frac{1}{b}$, тому чисельник $a+\frac{1}{b}$ не є многочленом.

Отже, весь вираз не є раціональним дробом у такому вигляді.

Тому, визначаючи раціональний дріб, перевіряйте не тільки наявність дробової риски, а й те, чи є чисельник і знаменник многочленами.

3. Як знайти значення виразу

Щоб знайти значення виразу при заданому значенні змінної, потрібно:

1. замість змінної підставити задане число;

2. виконати дії у правильному порядку;

3. записати отриманий результат.

✏️ Приклад 1

Знайдемо значення виразу

$\frac{2a+6}{a^2}$,

якщо a = 2.

Крок 1. Підставимо a = 2:

$\frac{2\cdot2+6}{2^2}$

Крок 2. Обчислимо чисельник і знаменник:

$\frac{4+6}{4}=\frac{10}{4}$

Крок 3. Скоротимо дріб:

$\frac{10}{4}=\frac52=2.5$

Відповідь: 2,5.

✏️ Приклад 2

Знайдемо значення виразу

$\frac{x+2}{x}-\frac{x}{x-1}$,

якщо x = 2.

Підставляємо:

$\frac{2+2}{2}-\frac{2}{2-1}=\frac42-\frac21=2-2=0$.

Відповідь: 0.

⚠️ Зверніть увагу

Ділити на нуль не можна.

Тому, якщо після підстановки значення змінної знаменник дробу дорівнює нулю, значення такого виразу обчислити неможливо.

Детальніше з такими випадками ми працюватимемо на наступному уроці.

4. Перекладаємо словесний опис мовою алгебри

Алгебра дає змогу коротко записувати математичні висловлювання за допомогою символів.

Варто пам’ятати:

• сума чисел a і b → a + b;

• різниця чисел a і b → a − b;

• добуток чисел a і b → ab;

• частка чисел a і b → $\frac{a}{b}$;

• квадрат числа a → a²;

• сума квадратів a і b → a² + b²;

• квадрат суми a і b → (a + b)².

⚠️ Сума квадратів і квадрат суми — це різні вирази.

a² + b² — сума квадратів;

(a + b)² — квадрат суми.

✏️ Приклад 1

Складіть дріб, чисельником якого є сума чисел m і n, а знаменником — їх різниця.

Чисельник:

m + n

Знаменник:

m − n

Отже, отримуємо:

$\frac{m+n}{m-n}$

✏️ Приклад 2

Складіть дріб, чисельником якого є добуток чисел a і b, а знаменником — сума їх квадратів.

Чисельник:

ab

Знаменник:

a² + b²

Отже:

$\frac{ab}{a^2+b^2}$

5. Раціональні вирази в практичних задачах

Дробові вирази часто виникають у звичайних життєвих ситуаціях.

Наприклад, швидкість руху можна знайти за формулою:

швидкість = відстань / час

або коротко:

$v=\frac{S}{t}$

де:

• v — швидкість;

• S — відстань;

• t — час.

🚗 Приклад

Автомобіль подолав 180 км за t год.

Тоді його швидкість можна записати виразом:

$\frac{180}{t}$

Якщо автомобіль витратив 3 години:

$\frac{180}{3}=60$ км/год.

Якщо 2 години:

$\frac{180}{2}=90$ км/год.

Отже, один дробовий вираз $\frac{180}{t}$ дає змогу обчислити швидкість для різних значень часу.

🧠 Головне з уроку

Раціональні вирази бувають цілими та дробовими.

Цілий вираз не містить змінної у знаменнику, а дробовий — містить.

Раціональний дріб має вигляд $\frac{P}{Q}$, де чисельник P і знаменник Q є многочленами.

Щоб знайти значення виразу, потрібно підставити задані значення змінних і виконати обчислення.

А словесні умови можна перекладати мовою алгебри, використовуючи суму, різницю, добуток, частку та степені.

Під час виконання оцінюваних завдань важливо показати власні знання та вміння.

Використання готових відповідей, допомоги інших людей, ChatGPT, Gemini, Photomath та інших сервісів, які можуть розв’язати завдання замість вас, спотворює результат і не дає зрозуміти, що ви вже вмієте, а над чим ще потрібно попрацювати.

Помилятися — нормально. Саме помилки допомагають побачити, що варто повторити.

Під час виконання завдань я:

• працюю самостійно;

• не використовую готові розв’язки та відповіді;

• не використовую ШІ й сервіси автоматичного розв’язування;

• чесно виконую роботу відповідно до своїх знань.

Натискаючи кнопку «Ознайомлений/на», я підтверджую, що дотримуватимуся цих правил під час виконання оцінюваної частини уроку.

Напишіть 1-2 речення:

• що нового ви сьогодні дізналися про раціональні вирази;

• яке завдання було для вас найпростішим, а яке потребує ще трохи практики.

Можна розпочати так:

«Після цього уроку я вже вмію…»
або
«Мені ще потрібно потренуватися…»