Тригонометричні рівняння

ТРИГОНОМЕТРІЯ

ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Функції, обернені до тригонометричних – арксинус, арккосинус, арктангенс та арккотангенс.

Нагадаємо основні поняття.

Арксинусом числа а (arcsin a) називається число з проміжку

⌈-π/2;π/2⌉, синус якого дорівнює а.

Отже: sin(arcsin a)=a. Виходячи з означення, можемо зробити висновки про те, що a ∈⌈-1;1⌉, arcsin a ∈⌈-π/2;π/2⌉

Арккосинусом числа а (arccos a) називається число з проміжку

⌈0;π⌉, косинус якого дорівнює а.

Отже: cos(arccosa)=a. Виходячи з означення, можемо зробити висновки про те, що  a ∈⌈-1;1⌉, arccos a ∈⌈0;π⌉

Арктангенсом числа а (arctga) називається число з проміжку

(-π/2;π/2), тангенс якого дорівнює а.

Отже: tg(arctga)=a. Виходячи з означення, можемо зробити висновки про те, що  a ∈(-∞;+∞), arctga∈(-π/2;π/2).

Арккотангенсом числа а (arcctg a) називається число з проміжку  (0;π), котангенс якого дорівнює а.

Отже: сtg(arcсtga)=a. Виходячи з означення, можемо зробити висновки про те, що a ∈(-∞;+∞), arсctga∈(0;π).

властивості і графіки обернених тригонометричних функцій :

Найпростіші тригонометричні рівняння

Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння sinx=a , cosx=a , tgx=a , ctgx=a .

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

1. Розв’язання рівняння sinx=a

Всі розв’язки рівняння

sinx=a,|a|≤1

записуються у вигляді

x=(−1)karcsina+πk,k∈Z.

Окремі випадки:

sinx=0⇒x=πk, k∈Z.

sinx=±1⇒x=±π/2+2πk, k∈Z

2. Розв’язання рівняння cosx=a

Всі розв’язки рівняння

cosx=a,|a|≤1

записуються у вигляді

x=±arccosa+2πk, k∈Z.

Окремі випадки:

cosx=0⇒x=π2+πk, k∈Z.

cosx=1⇒x=2πk, k∈Z.

cosx=−1⇒x=π+2πk, k∈Z.

3. Розв’язання рівняння tgx=a

Всі розв’язки рівняння

tgx=a

записуються у вигляді

x=arctga+πk, k∈Z

Окремий випадок:

tgx=0⇒x=πk, k∈Z..

4. Розв’язання рівняння ctgx=a

Всі розв’язки рівняння

ctgx=a

записуються у вигляді

x=arcctga+πk, k∈Z.

Окремий випадок:

ctgx=0⇒x=π/2+πk, k∈Z.