Тотожності

Тотожність — це рівність, правильна при будь-яких  значеннях змінних, що входять до неї.

Якщо в дану буквену рівність підставити замість змінних будь-які допустимі значення, то має вийти правильна числова рівність.

Тотожностями, наприклад, будуть основні властивості дій над числами:

a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
ab=ba
(ab)c=a(bc)
a(b+c)=ab+ac

a+0=a
a⋅0=0
a⋅1=a

або формули скороченого множення, наприклад a2−b2=(a−b)(a+b).

Правильні числові рівності теж є тотожністю.

Приклад:

Чи є тотожністю такі рівності:
1) 77+x=x+77
2) a−b=b−a
3) −5(−y)=5y
4) z2+z4=z6

Тотожно рівні вирази

Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних,що входять до них, називають тотожно рівними.

Приклад:

Вирази 8(x+y) та 8x+8y є тотожно рівними;

(a2)7 і a14 — тотожно рівні вирази,
а вирази a10+a4 і a14 не є тотожно рівними.

Можна замінити один вираз будь-яким іншим виразом, тотожно рівним першому.
Така заміна називається тотожним перетворенням.

Зведення подібних доданків і розкриття дужок – приклади тотожних перетворень виразів. Спрощуючи вираз, ми фактично замінюємо його простішим, тотожно рівним йому.

Для тотожних перетворень можна використовувати формули скороченого множення, закони арифметики і т.д.

Щоб довести тотожність, треба виконати тотожні
перетворення однієї або обох частин рівності та отримати ліворуч
і праворуч однакові вирази.

Щоб довести, що рівність не є тотожністю,
достатньо знайти одне допустиме значення змінної, за якого
отримані числові вирази не будуть рівні один одному.

Приклад:

Довести тотожність: 2t−(17−(t−7))=3(t−8).

Розв’язання:

Випишемо окремо ліву частину рівності й перетворимо, тобто спробуємо довести, що вона дорівнює правій частині.
При розкритті обох дужок знаки поміняємо, оскільки перед дужками знак мінус.

2t−(17−(t−7))=2t−17+(t−7)==2t¯¯¯−17+t¯−7=3t−24=3(t−8)

3(t−8)=3(t−8).

Отримали результат, за якого ліва частина вихідної рівності дорівнює правій.
Отже, вихідна рівність — тотожність.