Система двох рівнянь із двома змінними як математична модель прикладної задачі.

Дійсно , умови задач із різних областей знань містять нематематичні поняття. Якщо математик приймає участь у розв'язанні такої задачі , то він в першу чергу перекладає її на математичну мову , тобто на мову формул, рівнянь, нерівностей, функцій, графіків тощо.

Результат такого перекладу називають математичної моделлю, а саму задачу -прикладною задачею.

Область математики, яка займається побудовою, вивченням математичних моделей , називається математичним моделюванням.

Реальна ситуація може бути описана математичною мовою у вигляді математичної моделі, тобто системи двох лінійних рівнянь із двома змінними.

Складемо алгоритм для розв’язування текстових задач за допомогою системи рівнянь.

Алгоритм розв’язування текстової задачі за допомогою системи рівнянь
1. Проаналізувати умову задачі (основні величини, зв’язки між ними, вимоги задачі).
2. Створити математичну модель (у вигляді таблиці, рисунка, тексту тощо).
3.Скласти систему рівнянь до задачі.
4. Розв’язати отриману систему рівнянь.
5. Проаналізувати отримані результати з огляду на умову задачі.
6. Записати відповідь.

Приклад:

Навколо прямокутної ділянки землі площею 2400 м² поставили огорожу завдожки 220 м. Знайти довжину та ширину ділянки.

Розв’язання:

Довжина ділянки х м, ширина у м. Складемо систему рівнянь:  

{x*y=2400

{2(x+y)=220

Відповідь:  30 см і 80 см.

Розглянемо задачі, у яких системи двох лінійних рівнянь із двома змінними використовують як математичні моделі реальних ситуацій.

Задачі на роботу

Якщо V — обсяг роботи, p — продуктивність праці, t — час, то:

V=pt, p=V/t, t=V/p.

• Якщо працюють декілька людей, то продуктивності їхньої роботи додаються.

• Якщо обсяг роботи не зазначений, то його приймають за одиницю.

  Задачі на рух

  Якщо s — відстань, v — швидкість, t — час, то:
  s=vt ,v=s/t, t=s/v.

  Задачі на рух по воді

  Якщо v — власна швидкість плавзасобу у стоячій воді, a — швидкість течії, то:
  v+a — швидкість плавзасобу за течією;
  v–a — швидкість плавзасобу проти течії.
  Приклад :

  При послідовному з'єднанні двох провідників, опір в електичному колі становить 150 Ом, а при паралельному -36 Ом. Знайдіть опір кожного провідника.

  Розв’язання: Нехай х Ом – опір 1 провідника, тоді

  у Ом – опір 2 провідника.

  При послідовному з’єднані 2 провідників їх опори додається, тому маємо рівняння: .

  При паралельному з'єднанні провідників опір системи рахуюит за формулою . Маємо рівняння: .

  Отримали систему рівнянь:

  

  

  

  

  ОДЗ:

  

  

  

  

  

  

  

  

  Так як порядок з’єднання провідників для обчислення опору у даних випадках не важливий то опір 1 провідника 90 Ом, а 2 – 60 Ом.

  Відповідь: 90 Ом, 60 Ом.

Розв'язати задачу: Із двох пунктів , відстань між якими дорівнює 18 км, вийшли одночасно назустріч один одному два туриста , зустрілися через 2 год. З якою швидкістю йшов кожен турист , якщо для проходження усієї відстані між пунктами , перший із них на 54 хв більше пройшов , ніж другий ?

Скласти систему рівнянь , розв'язати і записати відповідь.

Розв'яжіть задачу: