Середнє арифметичне. Середнє значення величини.

Задачі, що приводять до поняття середнього арифметичного чисел

Задача №1

Протягом червня господиня зібрала на своєму городі 120 кг полуниці. Скільки полуниці збирала вона щодня, якщо:

1. щодня врожай був однаковий;

2. невідомо, чи був врожай однаковим щодня?

Розв’язання:

1. У червні 30 днів, тоді щодня господиня збирала: 120: 30=4 (кг) полуниці.

2. У другому випадку неможливо точно відповісти на запитання, бо можливі різні випадки. Але середнє значення врожаю: 120:30=4 (кг)

Задача №2

Загальний вік гравців футбольної команди  286 років. Якого віку кожний з гравців, якщо:

1. всі вони однолітки;

2. невідомо, що всі вони однолітки?

Розв’язання:

1. Відомо, що у футбольній команді 11 гравців, тоді 286:11=26 (років) вік гравця.

2. У другому випадку відповісти на запитання точно неможливо, тому кажуть, що середній вік гравців команди дорівнює 286:11=26 років.

Середнє арифметичне кількох чисел

Досить часто у повсякденному житті ми маємо справи з середніми величинами (середня врожайність, середня зарплатня, середній вік, середній бал, тощо).

Розглянемо поняття середнього арифметичного кількох чисел.

Середнім арифметичним кількох чисел називають частку від ділення суми цих чисел на кількість доданків.

№1041

Знайти середнє арифметичне чисел: 1) 10,3 і 9, 1.

Знайдемо суму цих чисел: 10,3+9,1= 19, 4. Оскільки чисел 2, то їх середнє арифметичне дорівнює 19,4/2= 9,7.

2) 2,8; 16,9 і 22

Знайдемо суму цих чисел:  2,8+16,9+22=41,7.

Оскільки чисел 3, то середнє арифметичне цих чисел дорівнює 41,7:3= 13,9.

№1047

В автомайстерні працює 10 робітників. У двох із них заробітна плата становить 5700 грн, у чотирьох - 7000 грн, у трьох - 7750 грн, а в одного 8000 грн. Яка середня зарплата робітників цієї майстерні?

Розв’язання:  Знайдемо загальну суму грошей, отриманих 10-ю робітниками: 2・5700+4ㆍ7000+3・7750+8000=70650. Тоді середня зарплата дорівнює: 70650:10=7065 грн.

№1

Знайдіть середнє арифметичне чисел: 84,32; 84,47; 84,56; 84,68 й округліть його до десятих.

Розв’язання:

1. Знайдемо суму чисел: 84,32+84,47+84,56+84,68=338,03.

2. Оскільки чисел 4, то 338,03: 4= 84,5075

3. Округлимо отримане число до десятих: 84,5075≈84,5

№2

Сума декількох чисел дорівнює 175, а їх середнє арифметичне дорівнює 43, 75. Знайдіть кількість цих чисел.

Розв’язання:

Оскільки середнє арифметичне кількох чисел дорівнює сумі цих чисел, поділеній на їх кількість, то 43,75 = 175/n. Звідси n=175/43,75=4.

Отже, кількість цих чисел 4.

Середнє значення величини

№4

Пішохід ішов 2 год зі швидкістю 4,2 км/год і 3 год зі швидкістю 4,7 км/год. З якою швидкістю він мав іти, щоб подолати ту саму відстань за той самий час?

Розв’язання:

Знайдемо відстань, що пройшов пішохід: 4,2・2+4,7・3= 8,4+14,1=22,5 (км)

Розділимо це значення на використаний час: 22,5: 5= 4,5 (км/год).

Отже, пішохід мав іти зі швидкістю 4,5 км/год.

Таку швидкість називають середньою швидкістю руху.

Цю саму відповідь можна було б одержати , якщо знайти середнє арифметичне швидкостей за кожну годину руху:

(4,2+4,2+4,7+4,7+4,7): 5 = 4,5 (км/год)

Отже, щоб знайти середню швидкість руху, треба весь пройдений шлях поділити на весь затрачений час.

№1053

Беручи участь у математичній олімпіаді, Дмитрик розв’язав 10 задач. За кожну задачу він міг отримати не більше 12 балів. За перші 8 задач хлопчик отримав середню оцінку 7 балів. Скільки балів отримав Дмитрик за кожну з решти двох задач , якщо середня кількість балів за одну розв’язану задачу становила 8?

Розв’язання:

Якщо середній бал за одну з перших 8 задач дорівнює 7, то 7=S8/8, де S8- це сума балів за 8 завдань. Тоді S8= 7・8=56.

Якщо середній бал за одну з усіх 10 задач дорівнює 8, то 8= S10/10, де S10 - сума балів за всі 10 задач. З цієї рівності S10=8・10=80.

80 - 56 = 24 (бали) за останні 2 задачі.

24:2=12 (балів)

Відповідь: Дві останні задачі були оцінені на 12 балів.

№1055

Автомобіль їхав 3,4 год по шосе зі швидкістю 90км/год і 1,6 год по грунтовій дорозі. З якою швидкістю їхав автомобіль по грунтовій дорозі, якщо середня швидкість на всьому шляху становила 75,6 км/год?

Розв’язання:  Нехай х км/год - швидкість автомобіля по грунтовій дорозі.

Оскільки  vсер. = (S1+S2)/(t1+t2), то 75,6=(3,4・90+1,6х)/(3,4+1,6)

                                                                           75,6 = (306+1,6х)/5

                                                                           306+1,6х=378;           1,6х=378-306;    1,6х=72; х = 75 ( км/год).

 Відповідь: 75 км/год .   

№1054

Усього  5 тестів по 100 балів.

С.а. за 4 тести - 88 балів

с.а. за 5 тестів - 90 балів

Знайти: скільки балів отримала Марія за 5-й тест.

Розв’язання:

1. Знайдемо суму всіх балів за 4 тести: S1=88 ・4=352 (б.)

2. Знайдемо суму балів за 5 тестів: S2=90・5=450 (б.)

3. 450-352=98 (б.) за 5-й тест.                                                                     

Виконати

№1042

Знайдіть середнє арифметичне чисел:

1) 4,2 і 2,1; 2) 3,9; 6; 9,18 і 15,8.

№1046

Автомобіль їхав 3 год зі швидкістю 56,4 км/год і 4 год зі швидкістю 62,7 км/год. Знайдіть середню швидкість автомобіля на всьому шляху.

№1048

Фермер зібрав з кожного гектара поля площею 30 га по 30,2 ц пшениці, а з кожного га поля площею 20 га - по 32,3 ц пшениці. Який середній урожай з одного гектара зібрав фермер?

№1050

Середнє арифметичне чисел 6,4 і у дорівнює 8,5. Знайдіть число у.

№1052

Середнє арифметичне двох чисел, одне з яких на 4,6 більше за друге, дорівнює 8,2. Знайдіть ці числа.

№1054

В університеті оцінка за семестр є середнім арифметичним оцінок за 5 тестів, які складають студенти протягом семестру. Найбільша можлива оцінка за кожний тест дорівнює 100 балам. Середня оцінка студентки Марії за 4 складені нею тести становить 88 балів. Скільки балів має отримати Марія за п'ятий тест, щоб її оцінка за семестр становила 90 балів?

Завдання надані з п. 36 підручника Математика 5 клас Мерзляк А.Г.