Самостійна робота "Тригонометричні функції"

Відомо, що яким би не було дійсне число t, йому можна поставити у відповідність однозначно певне число sin t.

Правило відповідності наступне: треба
1. розташувати числове коло на координатній площині так, щоб центр кола співпав з початком координат, а початкова точка A кола потрапила в точку (1;0);
2. на колі знайти точку, що відповідає числу t;
3. знайти ординату цієї точки, яка і є sin t.

Це і буде функція s=sint,t∈R

Аналогічно можна сказати ще про три функції:

s=cost;s=tgt;s=ctgt.

Всі ці функції називають тригонометричними функціями числового аргументу t.   

Є рівностіь, що зв'язують значення різних тригонометричних функцій. Деякі з цих рівностей вже відомі:

sin2t+cos2t=1;tgt=sintcost,t≠π2+πk;ctgt=costsint,t≠πk,k∈Z.

З двох останніх рівностей отримаємо співвідношення, що зв'язує tg t і ctg t:

tgt⋅ctgt=1,t≠πk2,k∈Z.

Виконуючи перетворення, можна отримати ще дві важливі формули:1+tg2t=1cos2t,t≠π2+πk;1+ctg2t=1sin2t,t≠πk,k∈Z.

Кожному дійсному числу x відповідає єдина точка одиничного кола A, що отримується поворотом точки (1;0) на кут x рад.

Одиничне коло.

Для цього кута визначені sinx і cosx

AB=sinx;OB=cosx 

Кожному дійсному числу x поставлені у відповідність числа sinx  і cosx, тобто на множині R всіх дійсних чисел визначено функції y=sinx і y=cosx

Таким чином, областю визначення функцій y=sinx і y=cosx є множина R всіх дійсних чисел.

Множиною значень функцій y=sinx і y=cosx є проміжок [−1;1]

Функція y=tgx визначається з ΔOAB, як tgx=ABOB=sinxcosx 

Ця функція визначена при тих значеннях, для яких cosx≠0

Отже, областю визначення функції y=tgx є вся множина дійсних чисел, крім x=π2+πn,n∈Z

Множиною значень функції y=tgx є множина всіх дійсних чисел R.

Функція y=ctgx визначається із ΔOAB, як ctgx=OBAB=cosxsinx

Ця функція визначена при тих значеннях, для яких sinx≠0

Отже, областю визначення функції y=ctgx є вся множина дійсних чисел, крім  x=πn,n∈Z

Множиною значень функції y=ctgx є множина всіх дійсних чисел R.

Функції y=sinx; y=cosx;y=tgx;y=ctgx називаються тригонометричними функціями.

1. Обчисліть: tg²30^o+2sin 60^o + tg 45^o - tg 60^o + cos² 30^o.

2. Обчисліть: ctg²45^o+cos 60^o - sin 60^o + (3/4)ctg² 60^o.

3. Cпростіть вираз:

4. Обчисліть

Розв'язання.

Домашня робота

Розв'яжіть завдання та підготуйтеся до контрольної роботи.

1. Обчисліть: 2cos 0^o + 3 sin 90^o + 4 tg 180^o.