Функцію y=f(x), x∈N називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю і позначають y=f(n) або y1,y2,y3,...,yn, ... .

Значення y1,y2,y3,...,yn (і т. д.) називають відповідно першим, другим, третім (і т. д.) членами послідовності.

У символі yn число n називають індексом, який задає порядковий номер того чи іншого члена послідовності. Іноді для позначення послідовності використовується запис (yn).

Як відомо, функція може бути задана різними способами, наприклад аналітично, графічно, словесно і т. д. Послідовності теж можна задавати різними способами, серед яких особливо важливі три: аналітичний, словесний і рекурентний.

1. Аналітичне задання послідовності

Кажуть, що послідовність задана аналітично, якщо вказана формула її n-го члена yn=f(n).

Приклад:

1. yn=n2

Це аналітичне задання послідовності 1,4,9,16,..., n2, ..., про яку йшла мова вище.

2. yn=C. Йдеться про послідовність C,C,C,...,C,...,, яку називають стаціонарною.

2. Словесне задання послідовності

Приклад:

Послідовність простих чисел: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,....

Послідовність задана словесно.

Знаходження аналітичного задання послідовності по її словесному опису часто буває складним (а іноді і нерозв'язним) завданням.

3. Рекурентне задання послідовності

Цей спосіб задання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності якщо відомі її попередні члени.

При обчисленні членів послідовності за цим правилом ми ніби весь час повертаємося назад, з'ясовуємо, чому дорівнюють попередні члени. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним (від лат. recurrere — повертатися).

Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє висловити n-й член послідовності через попередні, і задають один-два початкових члена послідовності.

Приклад:

y1=3;yn=yn−1+4, якщо n=2,3,4,....

Маємо,

y1=3;y2=y1+4=3+4=7;y3=y2+4=7+4=11;y4=y3+4=11+4=15 и т.д.

Тим самим отримуємо послідовність 3,7,11,15,....

Зростаючі і спадаючі послідовності об'єднують загальним терміном — монотонні послідовності.

Послідовність (yn) називають зростаючою, якщо кожний її член (крім першого) більше попереднього.

Послідовність (yn) називають спадаючою, якщо кожен її член (крім першого) менше попереднього.

Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (an) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність an+1 = an + d

Число d називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії a1 и різниця d, тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 +2 d

a4 = a3 + d = a1 +3 d

і т.д.

n-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (n−1) різниць, тобто,

an = a1 + d(n−1),

де n - порядковий номер члена прогресії, a1- перший член прогресії, d- різниця.

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2.

Написати:

a) перші п'ять членів прогресії;

b) десятий член прогресії.

a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:

a2 = a1 + d =0+2=2

a3 = a2 + d =2+2=4

a4 = a3 + d =4+2=6

a5 = a4 + d =6+2=8

b. Використовується загальна формула an = a1 + d(n−1)

Якщо n=10, тоді замість n до формули підставляється 10:

a10 = a1 + 2⋅(10−1)

a10 =0+2⋅9

a10 =18

Сума перших n членів арифметичної прогресії

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

Sn = (a1+an)⋅n2, де n - число членів послідовності.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2.

Написати суму перших п'яти членів послідовності.

Sn = (a1+an)⋅n2, де n=5 і an = a5 =8 (з попереднього прикладу)

S5 = (a1+a5)⋅52 = (0+8)⋅52 = 20

Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією.

Якщо послідовність (bn) є геометричною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність: bn+1=bn⋅q

Число q називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник q, тоді можливо знайти будь-який член прогресії.

b2=b1⋅q

b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2

b4=b1⋅q3

і т.д.

Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу:

bn=b1⋅qn−1, де

n- порядковий номер члена прогресії,

b1- перший член послідовності,

q- знаменник.

Приклад:

Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження n-го члена, якщо b1 = 8 і q=0,5.

b1 = 8

b2=b1⋅q = 8⋅0,5 = 4

b3=b2⋅q = 4⋅0,5 = 2

b4=b3⋅q = 2⋅0,5 = 1

b5=b4⋅q = 1⋅0,5 = 0,5

bn = b1⋅qn−1

bn = 8⋅0,5n−1

Сума перших n членів геометричної прогресії

Суму перших n членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, ..., bn і потім їх значення додати.

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:

Sn=bnq−b1q−1, де

n- кількість членів послідовності (порядковий номер),

b1- перший член послідовності,

bn- n-ий член послідовності,

q- знаменник.

Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:

Sn=b1(qn−1)q−1

Приклад:

Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b1 =8 і q=0,5.

I варіант

Розглянувши перший приклад, бачимо:

b1 =8, b2 = 4, b3 = 2, b4 = 1 і b5 = 0,5.

Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):

Sn = S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 =

8+4+2+1+0,5 = 15,5

II варіант

Використовується 1-а формула:

Sn=bnq−b1q−1, де

n=5

b1 =8

q=0,5

bn = b5 =0,5 (оскільки n=5)

S5 = (0,5⋅0,5−8)(0,5−1) = 15,5

III варіант

Використовується 2-а формула:

Sn=b1(qn−1)q−1

S5 = 8⋅(0,55−1)0,5−1 = 15,5

Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату.

Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5 = 15,5.

Доведіть, що послідовність b_n=-2n²+5n-3 - спадна.
Знайдіть всі члени послідовності (a_n), заданої формулою an=n2-5n, для яких виконується нерівність .
Чи можуть числа 1, і 3 бути членами однієї арифметичної прогресії?
Знайдіть найменший член послідовності, заданої формулою a_n = (n-2)(n-4)(n-6).
Сума перших n членів деякої послідовності визначається за формулою S_n=3n²-n. Чи є ця послідовність арифметичною прогресією.