Розв’язування вправ. Самостійна робота. (Арифметична, геометрична прогресії)

Послідовність (bn), у якій кожний наступний член можна знайти, якщо попередній член помножити на одне і те ж число q, називається геометричною прогресією.

Якщо послідовність (bn) є геометричною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність: bn+1=bn⋅q

Число q називається знаменником геометричної прогресії.

Якщо у геометричній прогресії (bn) відомий перший член b1 і знаменник q, тоді можливо знайти будь-який член прогресії.

b2=b1⋅q

b3=b2⋅q=b1⋅q⋅q=b1⋅q2

b4=b1⋅q3

і т.д.

Загальний член геометричної прогресії bn можна обчислити, використовуючи формулу:

bn=b1⋅qn−1, де

n- порядковий номер члена прогресії,

b1- перший член послідовності,

q- знаменник.

Приклад:

Обчислити перші п'ять членів геометричної прогресії і написати формулу знаходження n-го члена, якщо b1 = 8 і q=0,5.

b1 = 8

b2=b1⋅q = 8⋅0,5 = 4

b3=b2⋅q = 4⋅0,5 = 2

b4=b3⋅q = 2⋅0,5 = 1

b5=b4⋅q = 1⋅0,5 = 0,5

bn = b1⋅qn−1

bn = 8⋅0,5n−1

Сума перших n членів геометричної прогресії 

Суму перших n членів геометричної прогресії Sn можна знайти, якщо обчислити її члени b1, b2, ..., bn і потім їх значення додати.

Обчислюючи суму перших n членів геометричної прогресії, зручніше використовувати
1-у формулу:

Sn=bnq−b1q−1,  де

n- кількість членів послідовності (порядковий номер),

b1- перший член послідовності,

bn- n-ий член послідовності,

q- знаменник. 

Розв'язуючи задачі, зручніше використовувати 2-у формулу:

Sn=b1(qn−1)q−1

Приклад:

Обчислити суму перших п'яти членів геометричної прогресії, якщо b1 =8 і q=0,5. 

I варіант

Розглянувши перший приклад, бачимо:

b1 =8, b2 = 4, b3 = 2, b4 = 1 і b5 = 0,5.

Додавши п'ять цих чисел, вийде сума (перших п'яти членів послідовності):

Sn = S5 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 =

8+4+2+1+0,5 = 15,5

II варіант

Використовується 1-а формула:

Sn=bnq−b1q−1, де

n=5

b1 =8

q=0,5

bn = b5 =0,5     (оскільки n=5)

S5 = (0,5⋅0,5−8)(0,5−1) = 15,5

III варіант

Використовується 2-а формула: 

Sn=b1(qn−1)q−1

S5 = 8⋅(0,55−1)0,5−1 = 15,5

Як бачите, всі три варіанти розв'язання призводять до одного й того ж результату. 

Сума перших п'яти членів прогресії дорівнює S5 = 15,5.

Послідовність, в якій кожен наступний член можна знайти, додавши до попереднього одне і те ж число d, називається арифметичною прогресією.

Якщо послідовність (an) є арифметичною прогресією, тоді для будь-якого натурального значення n справедлива залежність  an+1 = an + d

Число d називається різницею арифметичної прогресії.

Якщо відомий перший член арифметичної прогресії a1 и різниця d, тоді можливо обчислити будь-який член арифметичної прогресії:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 +2 d

a4 = a3 + d = a1 +3 d

і т.д. 

n-ий член арифметичної прогресії можна отримати, якщо до першого члену прогресії додати (n−1) різниць, тобто,

an = a1 + d(n−1),

де n - порядковий номер члена прогресії, a1- перший член прогресії, d- різниця.

Ця рівність називається загальною формулою арифметичної прогресії.

Її використовують, щоб обчислити n-ий член арифметичної прогресії (наприклад, десятий, сотий та ін.), якщо відомі перший член послідовності і різниця.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2.

Написати:

a) перші п'ять членів прогресії;

b) десятий член прогресії. 

a. Щоб знайти наступний член прогресії, потрібно до попереднього додати різницю:

                 a2 = a1 + d =0+2=2

                 a3 = a2 + d =2+2=4

                 a4 = a3 + d =4+2=6

                 a5 = a4 + d =6+2=8

b. Використовується загальна формула an = a1 + d(n−1) 

Якщо n=10, тоді замість n до формули підставляється 10: 

a10 = a1 + 2⋅(10−1) 

a10 =0+2⋅9 

a10 =18

Сума перших n членів арифметичної прогресії 

Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти, використовуючи формулу:

Sn = (a1+an)⋅n2, де n - число членів послідовності.

Приклад:

Дано арифметичну прогресію (an), де a1 =0 і d =2.

Написати суму перших п'яти членів послідовності.

Sn = (a1+an)⋅n2, де n=5 і an = a5 =8 (з попереднього прикладу)

S5 = (a1+a5)⋅52 = (0+8)⋅52 = 20

Для актуалізації опорних знань виконайте тестування.

Класна робота

№849, стор.190

№850,

№852,

№862, стор. 191

№864,

№866,

Самостійна робота

№1-№12 стор. 188

Домашня робота

№856, №857, стор. 191, №868 №869, стор. 192

Завдання ДПА:

1. Обчисли 5-й член арифметичної прогресії, якщо відомо, що a1 = 4,3 і d = 6,3

 a5 =

2. Знайди наступні два члени геометричної прогресії, якщо b1 = 6 і b2= 36.

 b3=

b4=