Розв'язання рівнянь

Розв'язання рівнянь

Рівняння — це рівність, що містить позначене буквою невідоме число, яке потрібно знайти.

Наприклад:

х+5=7;

3(х–5)=18;

2,3х–5=7–0,1х.

Корінь рівняння — це значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну рівність.

Наприклад:

х=5 — корінь рівняння 2,3х−5=7−0,1х, оскільки при підстановки цього числа замість змінної х, воно перетворює рівність на правильну числову рівність, тобто:

2,3⋅5−5=7−0,1⋅5;

6,5=6,5.

Розв'язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.

Основні властивості рівнянь:

1. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини рівняння до іншої, змінивши при цьому його знак на протилежний то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане.

2. Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме, відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, що й дане.

Приклад:

3x−12=6

Для визначення невідомого зменшуваного потрібно до різниці додати від'ємник:

3x=6+123x=18

Для визначення невідомого множника добуток потрібно поділити на відомий множник:

x=18:3

x=6

Приклад:

2x−12=6−x

Розв'язуючи рівняння, можна міркувати й інакше.

Тут ми маємо рівність двох виразів, отже, їх різниця дорівнює нулю:

(2x−12)−(6−x)=0

Розкриємо дужки та спростимо вираз у лівій частині рівняння:

2x−12−6+x=0
3x−18=0
3x=18
x=6

Відповідь: 6.

Можна помітити, що для розв'язання рівняння потрібно послідовно виконувати наступні дії:

1) спростити рівняння ( розкрити дужки, звести подібні доданки) ;

2) доданки, що містять змінну, перенести в ліву частину рівняння, а числа — у праву частину, не забуваючи при перенесенні змінювати знаки на протилежні;

3) звести подібні доданки в лівій і правій частинах рівняння;

4) знайти корінь рівняння;

5) за потреби зробити перевірку;

6) записати відповідь.

У розглянутих прикладах рівняння зводилися до вигляду ax=b, де a≠0.

Рівняння, що можна звести до такого вигляду за допомогою перенесення доданків і зведення подібних доданків, називається лінійним рівнянням із одним невідомим.

Розв'яжи рівняння:

4,2x−2,9=1,3x

Розв'яжи рівняння:

8⋅(5+x)−4x=5x−61

Розв'яжи рівняння:

$\frac15x+8=23-\frac{1}{20}x$