Розкладання многочленів на множники способом групування

Повторіть теоретичний матеріал

Спосіб групування застосовують у випадку, коли многочлени не мають спільного множника для всіх членів многочлена.

Спосіб застосовується так: многочлен записують у вигляді пар доданків таким чином, щоб із кожної пари можна було винести один і той самий множник. Цей спільний множник можна винести за дужку.

Тоді вихідний многочлен  буде записаний у вигляді добутку.

Зверни увагу!

Розкласти на множники способом групування можна в три етапи:

1. Об'єднати доданки многочлена в групи (зазвичай по два, рідше по три, і т. д.), які містять спільний множник.

2. Винести спільний множник за дужки.

3. Отримані добутки мають спільний множник у вигляді многочлена, який знову винести за дужки.

Об'єднання членів многочлена в групи можна здійснити різними способами.Не завжди групування виявляється вдалим для подальшого розкладання на множники.

У такому випадку слід спробувати об'єднати в групи інші члени многочлена.

Виконаємо приклад ( № 484 (1), стор.86)

1. Завдання. Розкласти на множники вираз: ах²-ay-bx²-by+cx²+cy

Розв'язання:

2. Завдання. Розкласти на множники вираз: c(a−b)+d(a−b).

Розв'язання:Спільний множник a–b винесемо за дужки:

(a–b)(c+d).

3. Завдання. Розкласти на множники вираз:

5x−12z(x−y)−5y.

Розв'язання:

5x−12z(x−y)−5y=5x−5y−12z(x−y)=5(x−y)−12z(x−y)=

=(x−y)(5−12z)

4. Завдання. Розкласти на множники вираз:

t³−6t²y+2ty−12y².

Розв'язання:

Згрупуємо доданки таким чином:

t³−6t²y+2ty−12y²=(t³−6t²y)+(2ty−12y²).

У першій групі винесемо за дужку спільний множник t², у другій – −2y.

Отримаємо: (t³−6t²y)+(2ty−12y2)=t²(t−6y)+2y(t−6y).

Спільний множник добутків (t–6y) також можна винести за дужку:

t²(t−6y)+2y(t−6y)=(t−6y)(t²+2y). 

Відповідь: (t−6y)(t²+2y).

5. Завдання. Розкласти на множники вираз:

ax²−bx²+bx−ax+a−b.

Розв'язання:

Згрупуємо доданки по два й винесемо в кожній парі спільний множник за дужку:ax²−bx²+bx−ax+a−b=(ax²−bx²)+(bx−ax)+(a−b)==x²(a−b)−x(a−b)+(a−b).

Ми отримали три доданки, у кожному з яких є спільний множник a−b. Використовуючи розподільний закон множення, винесемо тепер за дужки a−b:

x²(a−b)−x(a−b)+1⋅(a−b)=(a−b)(x²−x+1).

Самостійна робота

1. Розкладіть на множники вираз:

1) x(a+b)-a-b

2) x(m+n)-7m-7n

3) ax-2a+3x-6

4) 2mx-3m-4x+6

2. Розв'яжіть рівняння

1) 3y+12-(y+4)²=0

2) (х + 3)(х – 2) – (х + 4)(х – 1) = 3х.

3. Знайдіть значення виразу

15,5*20,8+15,5*9,2-3,5*20,8-3,5*9,2

4. Обчисліть у раціональний спосіб

109*91-107* 93

5. Доведіть, що значення виразу (n – 1)(n + 1) – (n - 7)(n + 3)

кратне 4 при всіх цілих значеннях n.

Домашнє завдання

№ 484 (2-6), 481, 488.