Розкладання многочленів на множники способом групування

Перегляньте відеоматеріал.

Спосіб групування застосовують у випадку, коли многочлени не мають спільного множника для всіх членів многочлена.

Спосіб застосовується так: многочлен записують у вигляді пар доданків таким чином, щоб із кожної пари можна було винести один і той самий множник. Цей спільний множник можна винести за дужку.

Тоді вихідний многочлен  буде записаний у вигляді добутку.

Зверни увагу!

Розкласти на множники способом групування можна в три етапи:1. Об'єднати доданки многочлена в групи (зазвичай по два, рідше по три, і т. д.), які містять спільний множник.

2. Винести спільний множник за дужки.

3. Отримані добутки мають спільний множник у вигляді многочлена, який знову винести за дужки.

Об'єднання членів многочлена в групи можна здійснити різними способами.Не завжди групування виявляється вдалим для подальшого розкладання на множники.

У такому випадку слід спробувати об'єднати в групи інші члени многочлена.

Розглянемо приклади.

1. Завдання. Розкласти на множники вираз: up–bp+ud–bdРозв'язання:

2. Завдання. Розкласти на множники вираз: c(a−b)+d(a−b).

Розв'язання:Спільний множник a–b винесемо за дужки:

(a–b)(c+d).

3. Завдання. Розкласти на множники вираз:

5x−12z(x−y)−5y.

Розв'язання:

5x−12z(x−y)−5y=5x−5y−12z(x−y)=5(x−y)−12z(x−y)=

=(x−y)(5−12z)

4. Завдання. Розкласти на множники вираз:

t³−6t²y+2ty−12y².

Розв'язання:

Згрупуємо доданки таким чином:

t³−6t²y+2ty−12y²=(t³−6t²y)+(2ty−12y²).

У першій групі винесемо за дужку спільний множник t², у другій – −2y.

Отримаємо: (t³−6t²y)+(2ty−12y2)=t²(t−6y)+2y(t−6y).

Спільний множник добутків (t–6y) також можна винести за дужку:

t²(t−6y)+2y(t−6y)=(t−6y)(t²+2y). 

Відповідь: (t−6y)(t²+2y).

5. Завдання. Розкласти на множники вираз:

ax²−bx²+bx−ax+a−b.

Розв'язання:

Згрупуємо доданки по два й винесемо в кожній парі спільний множник за дужку:ax²−bx²+bx−ax+a−b=(ax²−bx²)+(bx−ax)+(a−b)==x²(a−b)−x(a−b)+(a−b).

Ми отримали три доданки, у кожному з яких є спільний множник a−b. Використовуючи розподільний закон множення, винесемо тепер за дужки a−b:

x²(a−b)−x(a−b)+1⋅(a−b)=(a−b)(x²−x+1).

Класна робота

№ 1

Подати у вигляді многочлена стандартного вигляду вираз:

(b – 3) ( b+ 4)

Оберіть правильну відповідь

А) b² + b - 12     Б) b² – 7b + 12     В) b² – 7b - 12      Г) b² + b + 12   

1. Спростити вираз:

а) (х + 2) (х - 5) – 3х(1 – 2х);

б) (а - 7)(3а - 2) – (а – 3)(а + 6).

1. Розв’яжіть рівняння: 

(х + 3)(х – 2) – (х + 4)(х – 1) = 3х.

1. Довести, що значення виразу

(n – 1)(n + 1) – (n - 7)(n + 3)

кратне 4 при всіх цілих значеннях n.

Домашнє завдання

№ 605, № 607, № 609 стор. 1134