Рівняння, що зводяться до квадратних

Доброго дня, шановні восьмикласники! Запрошую вас на урок алгебри.

Тема уроку: Рівняння, що зводяться до квадратних.

Пропоную вам самостійно опрацювати теоретичний матеріал та записати всі вправи.

Рівняння, що зводяться до квадратних

Спочатку згадаємо алгоритм розв̕язку квадратного рівняння. Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax²+bx+c=0, 

де x - змінна, а a,b,c-коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .

Рівняння, що зводяться до квадратних

Спочатку згадаємо алгоритм розв̕язку квадратного рівняння. Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax²+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .

Коефіцієнти рівняння:

а        в        с

2 х² - 4 х+  7 = 0.

а = 2; в = -4; с = 7.

*Якщо у квадратному рівнянні а+в+с=0, то х₁ =1, а  х₂ =с/а

*Якщо квадратне рівняння зведене:

х²+рх + g=0, то за теоремою Вієта:

х₁+х₂= -р

х₁• х₂= g.

Розглянемо розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних.

Рівняння вигляду ax⁴ + bx² + c = 0, називається біквадратним.

Таке рівняння розв’язують, зводячи його до квадратного. Для цього x² позначають іншою буквою і говорять, що вводять нову змінну: х² = t, і одержують квадратне рівняння відносно нової змінної.

.Нехай х² =t, тоді х⁴ =t² . Маємо рівняння: t² +t+с=0

Знайдемо t₁ та t₂.  Перейдемо  до зміннної х:

х² =  t₁;                             х² =t₂

х_1,2=±√ t₁                                                 х_3,4=±√ t₂

Зверніть увагу!

Якщо новою змінною позначають парний степінь заданої змінної, то нова змінна не може набувати від’ємних значень. 

 Завдання 1

Розв'яжіть рівняння:

1. х⁴ – 5х² – 36 = 0

Нехай х² =t, тоді х⁴ =t² . Маємо рівняння:

t² – 5t – 36 = 0

За теоремою Вієта:

t₁ ^. t₂ =-36;

t₁₊ t₂ =5.

t₁=9;                          t₂ =-4.

х² = 9                      х² =-4

х_1,2=±√ 9                      Рівняння  коренів не має

х₁ =3; х₂ =-3.

Відповідь: 3; -3.

3)Розв'яжіть рівняння:

      (2х² + 1)² = 14(2х² + 1) – 45.

(2х² + 1)² - 14(2х² + 1) + 45=0.

Нехай 2х² + 1 =t, тоді (2х² + 1)² =t² . Маємо рівняння:

t² –14t +45 = 0

За теоремою Вієта:

t₁ ^. t₂ =45;

t₁₊ t₂ =14.

t₁=9;       t₂=5.     Маємо:

     2х² + 1 =9;                       2х² + 1 =5;

     2х²  = 9-1;                         2х²  = 5-1;

     2х²  =8;                            2х²  =4;

х²=4;                               х²=2

  х_1,2=±√ 4 _;                                 х_3,4=±√ 2;

       х₁= 2;                                                х_3,=√ 2;

        х₂=-2.                                              х₄=-√ 2.

Відповідь: 2; -2; _,√ 2; -√ 2

Виконати самостійно.

1) 4х ⁴ – 5х² + 1 = 0.

2) (х² + 3)² – 11(х² + 3) + 28 = 0;  

Домашнє завдання:

Вивчити п.22, стор172.

Впр.751 (1-3) стор174.  

Виконай вправи, сфотографуй і надішли на перевірку.