Прості числа. Розкладання числа на прості множники

Прості числа. Розкладання числа на прості множники

Натуральні числа, що мають тільки два дільники — одиницю і само себе , називають простими.

Приклад:

Числа 2;3;5;7;11 — прості, оскільки діляться тільки на 1 і самі на себе, тобто мають два дільники.

Натуральні числа, що мають більше двох дільників, називають складеними.

Приклад:

Числа 4;6;8;10 — складені, оскільки діляться не тільки на 1 і самі на себе, а ще, наприклад, на 2, тобто мають більше двох дільників.

Число 1 не належить ні до простих, ні до складених чисел.

Число 48 — складене, оскільки, крім 1 і 48, воно ділиться, наприклад, ще на 2.
Це число можна подати у вигляді добутку простих чисел.

При розкладанні числа на прості множники використовують ознаки подільності та застосовують запис стовпчиком, при якому дільник розташовують праворуч від вертикальної риски, а частку записують під діленим.

48|2

24|2

12|2

6|2

3|3

1

Знаючи, що добуток однакових множників можна записати у вигляді степеня, отримаємо:

48=2⋅2⋅2⋅2⋅3=24⋅3

Подання числа у вигляді добутку простих чисел називають розкладанням числа на прості множники.

375|3

125|5

25|5

5|5

1

тобто,375=3⋅5⋅5⋅5.

Основна теорема арифметики:

Будь-яке натуральне число (крім 1) або є простим, або його можна розкласти на прості множники, причому єдиним способом.

У ході виконання різних завдань зручно користуватися таблицею простих чисел. Знаходження дільників для великих чисел — справа нелегка. Тому для спрощення роботи складена таблиця простих чисел.

Історична довідка.

В таблиці найбільше просте число 997. Проте це не саме найбільше просте число. Давньогрецький математик Евклід довів приблизно 2300 років тому, що найбільшого простого числа не існує.

Давньогрецький вчений Ератосфен (276-194 ст. до н.е.), запропонував свій простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел. Цей засіб має назву "решето Ератосфена".

Розклади число 1311 на прості множники і запиши відповідь, використовуючи поняття степеня.