ПОВТОРЕННЯ: Трикутники.Теорема Піфагора, теореми синусів, косинусів.

Тема уроку: Трикутники.Теорема Піфагора, теореми синусів, косинусів.

Трикутником називається геометрична фігура, що складається з трьох точок (вершин трикутника), які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків (сторін трикутника), що попарно сполучають ці точки. Сторони трикутника утворюють у його вершинах три кути. Іншими словами, трикутник — це многокутник, у якого є рівно три кути.

Трикутник називають гострокутним, якщо всі його кути гострі.

Трикутник називають прямокутним, якщо один із його кутів прямий.

Трикутник називають тупокутним, якщо один із його кутів тупий.

Прямокутний трикутник - це трикутник, який має один прямий і два гострих кути.

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою (на мал. це сторона BC), дві інші сторони — катетами (на мал. це сторони AB і AC) .

Одна з найвідоміших геометричних теорем — теорема Піфагора, знаменитого давньогрецького філософа і математика:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів

$c^2=a^2+b^2$ $с$- гіпотенуза, $а,b$ -катети

Якщо знаходимо довжину гіпотенузи $c$, тоді виконуємо додавання квадратів довжин катетів $a$ і $b$ і визначаємо квадратний корінь:

$c^2=a^2+b^2$

$с=\sqrt{a^2+b^{\placeholder{}}}$

Якщо знаходимо довжину одного катета, тоді виконуємо віднімання від квадрата довжини гіпотенузи довжини квадрата іншого катета і визначаємо квадратний корінь:

$a^2=c^2−b^2$

$b^2=c^2-a^2$

Для знаходження елементів у довільному трикутнику використовується теорема синусів або теорема косинусів.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:

$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$

(під час розв'язання задачі одночасно пишуться дві частини, утворюючи пропорцію)

Теорема синусів використовується для обчислення:

1. невідомих сторін трикутника, якщо відомі два кути і одна сторона;

2. невідомих кутів трикутника, якщо відомі дві сторони і один прилеглий кут.

Для обчислення елементів прямокутного трикутника достатньо $2$ дані величини (дві сторони або сторона і кут).

Для обчислення елементів довільного трикутника необхідно хоча б $3$ дані величини.

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:

$a^2=b^2+c^2−2\cdot b\cdot c\cdot cosA$

Теорема косинусів використовується для обчислення:

1. невідомої сторони трикутника, якщо відомі дві сторони і кут між ними;

2. обчислення косинуса невідомого кута трикутника, якщо відомі всі сторони трикутника.

Прикріпи фото своєї роботи