Похідні деяких елементарних функцій. Похідна складеної функції

Переглянути відеоурок

Приклад 1: заcтосовуючи правила і формули диференціювання, знайти похідну функції .

Застосовуючи послідовно правила (2), (1), (3) і формулу , отримаємо:

Приклад 2: для функції знайти і .

Отже, на першому кроці, використовуючи правила (2), (4) і (3), знайдемо похідну заданої функції. В результаті будемо мати:

Підставляючи далі задані значення аргументу у вираз для похідної, отримаємо:

Приклад 3: знайти , якщо .

Для початку, перепишемо задану функцію у наступному вигляді: . Після цього, знайдемо :

Отже, при отримаємо:

Похідна складеної функції

Щоб знайти похідну функції
y=(x³+x²+3x+7)⁵
подамо її у вигляді:
y=φ⁵, де φ=x³+x²+3x+7.
Тоді за формулою похідної складеної функції
(1*)
отримаємо:
y'=(φ⁵)'·φ'_x
За формулою 8
(φ⁵)'=5φ⁴,
φ'_x=(x³+x²+3x+7)'=3x²+2x+3.
Підставляємо в y':
y'=5φ⁴·(3x²+2x+3)=5(x³+x²+3x+7)⁴·(3x²+2x+3).
Формулу (1*) використовуємо для всеможливих вкладених функцій.

Приклад 1 Обчислити похідну
y=(6-7x)¹⁰.
Розв'язування: Позначимо через φ вираз в дужках
y=φ¹⁰, φ=6-7x, φ'=-7.
Тоді за правилом похідної складної функції:
y'=(φ¹⁰)'·φ'=-7·10φ⁹=-70(6-7x)⁹.

Записати приклади в конспект.