Показникові рівняння

Показникові рівняння

Показникове рівняння - це рівняння, яке містить невідому змінну лише у показнику степеня при сталих основах.

Рівняння вигляду називається найпростішим показниковим рівнянням.

Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок

Якщо , то рівняння не має розв'язків

Загального методу розв'язування показникових рівнянь не існує, тому розглянемо деякі основні способи:

Приклад 4. Розв’яжіть рівняння: 3^x = 7^х

Розв’язання: (оскільки дане рівняння звести до однієї основи не можна, то поділимо його на одне з чисел, тобто на 7^х)

3^х = 7^х, │÷ 7^х

(таким чином ми отримали одне з чисел 1, а ми знаємо, що 1 можна записати як будь-яке число у нульовому степені)

x = 0.

Відповідь: 0.

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння 4^х  + 4∙2^х – 32 = 0

Розв’язання (зведемо дане рівняння до квадратного, тобто у нас є основи 4^х і 2^х (ми знаємо, що 4 – це 2², а при піднесенні степінь до степеня показники перемножуються, то ми отримаємо 4^х = 2^2х), тому зведемо наше рівняння до основи 2):

2^2х+ 4∙2^х - 32 = 0, (ми звели дане рівняння до квадратного (такі рівняння розв’язуються заміною змінної).

Виконаємо замінну змінної, нехай 2^х= у, отримаємо:

У²+ 4у – 32 = 0 (корені даного рівняння знаходимо за дискримінантом або за теоремою Вієта)

У₁= -8; у₂= 4 (за т. Вієта -8∙4 = -32, -8 + 4 = -4 (сума чисел має бути з протилежним знаком))

Тепер повертаємось до заміни змінної, тобто до 2^х = у (замість у підставляємо отримані корені рівняння, тобто -8 та 4 і розв’язуємо два отримані показникові рівняння)

2^х= -8 (отримали за означенням b˂0) тобто 2^х≠ -8 (-8 – сторонній корінь, дане рівняння не має розв’язку)

2^х= 4

2^х=2²

Х=2.

Відповідь: 2.

Д/З

Розв'язати рівняння:

1. Зведення до однієї основи

   

2. Рівняння       , які не зводяться до однієї основи

   

3. Винесення спільного множника за дужки