Перетворення виразів, що містять квадратні корені

Винесення множника з-під знака кореня

Щоб винести множник з-під знака квадратного кореня, використовують властивість радикалів:

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$

Якщо a є повним квадратом числа, то його корінь можна винести за знак радикала:

$\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$

Наприклад: винести з-під знака кореня множник 1) $\sqrt{50}$;

2) $\sqrt{36a}$

Розв'язання:

1) $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{5^2\cdot2}=5\sqrt2$;

2)$\sqrt{36a}=\sqrt{36\cdot a}=\sqrt{6^2\cdot a}=6\sqrt{a}$.

Внесення множника під знака кореня

Щоб внести множник під знак квадратного кореня, використовують властивість радикалів:

$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$

Тобто, множник перед коренем підноситься до квадрата і переноситься під знак кореня.

Наприклад: внеси множник під знак кореня 1) $3\sqrt5$;

2) $x\sqrt{y}$

Розв'язання:

1) $3\sqrt5=\sqrt{3^2\cdot5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}$;

2) $x\sqrt{y}=\sqrt{x^2y}$

Додавання і віднімання виразів з коренями

Головне правило: можна додавати або віднімати лише подібні корені, тобто ті, що мають однаковий підкореневий вираз.

$a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=\left(a+c\right)\sqrt{b}$

$a\sqrt{b}-c\sqrt{b}=\left(a-c\right)\sqrt{b}$

Наприклад:

1) $3\sqrt7+5\sqrt7=\left(3+5\right)\sqrt7=8\sqrt7$;

2) $6\sqrt2-4\sqrt2=\left(6-4\right)\sqrt2=2\sqrt2$;

3) $\sqrt{50}+\sqrt{18}=\sqrt{25\cdot2}+\sqrt{9\cdot2}=5\sqrt2+3\sqrt2=\left(5+3\right)\sqrt2=8\sqrt2$

Множення виразів, які містять квадратні корені

Основні правила:

1️⃣ Множення чисел під знаком кореня: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

2️⃣ Множення виразу на число:

$c\cdot\sqrt{b}=c\sqrt{b}$; $\sqrt{a}\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{ad}$

3️⃣ Множення виразів із коефіцієнтами: $a\sqrt{b}\cdot c\sqrt{d}=\left(a\cdot c\right)\sqrt{bd}$

4️⃣ Формули скороченого множення з коренями:

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+2\sqrt{ab}+b$

$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b$

$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b$

Наприклад:

1) $\sqrt3\cdot\sqrt4=\sqrt{3\cdot4}=\sqrt{12}$;

2) $4\sqrt5\cdot2\sqrt2=\left(4\cdot2\right)\cdot\sqrt{5\cdot2}=8\sqrt{10}$;

3) $\sqrt2\left(\sqrt8+\sqrt{32}\right)=\sqrt{2\cdot8}+\sqrt{2\cdot32}=\sqrt{16}+\sqrt{64}=4+8=12$;

4) $\left(\sqrt7+\sqrt3\right)^2=7+2\sqrt{21}+3$;

5) $\left(\sqrt8-\sqrt2\right)\left(\sqrt8+\sqrt2\right)=8-2=6$.

Ділення виразів, які містять квадратні корені та позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу

Якщо у знаменнику є ірраціональний вираз, то потрібно його позбутися, домноживши чисельник і знаменник на корінь:

$\frac{1}{\sqrt{b}}=\frac{1\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}}{b}$

Щоб позбутися ірраціональності у знаменнику подібного дробу $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ , потрібно домножити і чисельник знаменник цього дробу на протилежний вираз до знаменника:

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

Наприклад:

1) $\frac{3}{\sqrt2}=\frac{3\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}$;

2) $\frac{\sqrt5-1}{\sqrt{10}-\sqrt2}=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt2\left(\sqrt5-\sqrt1\right)}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$;

3) $\frac{4}{\sqrt5-\sqrt2}=\frac{4\left(\sqrt5+\sqrt3\right)}{\left(\sqrt5-\sqrt3\right)\left(\sqrt5+\sqrt3\right)}=\frac{4\left(\sqrt5+\sqrt3\right)}{5-3}=\frac{4\left(\sqrt5+\sqrt3\right)}{2}=$

$=2\left(\sqrt5+\sqrt2\right)$