Перетворення складного радикала

Арифметичним квадратним коренем з невід'ємного числа а називають невід'ємне число , квадрат якого дорівнює а, і позначають $\sqrt{a}$

Справедливі рівності:

1. $\sqrt{a}=b$, якщо $b^2=a,b\ge0$

2. $\left(\sqrt{a}\right)^2=a,a\ge0$

$\sqrt{a^2}=\left\vert a,a\in R\right\vert$

Властивості арифметичного квадратного кореня

1. $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},якщоa\ge0,b\ge0$
   

2. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},якщоa\ge0,b>0$

3. $\sqrt{a^{2n}}=\left\vert a^{n}\right\vert$

4. Винесення множника з під знака кореня $\sqrt{b^2a}=\left\vert b\right\vert\sqrt{a}.$ Якщо $b\ge0,то\sqrt{b^2a}=b\sqrt{a.}$Якщо $b<0,то\sqrt{b^2a}=-b\sqrt{a.}$

5. Внесення множника під знак кореня $\sqrt{b^2a}=\left\vert b\right\vert\sqrt{a.}$ Якщо $b\ge0,то\sqrt{b^2a}=b\sqrt{a.}$Якщо $b<0,то\sqrt{b^2a}=-b\sqrt{a}.$

Ірраціональний вираз виду $\sqrt{A\pm\sqrt{B}}$, де А і В є додатніми раціональними числами, при цьому В не є точними квадратом, називається складним радикалом.

Складний радикал можна записати у вигляді суми чи різниці за допомогою формули

$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$

Дану формулу можна перевіритипіднесенням обох частин рівності до квадрата, враховуючи, що всі радикали є арифметичними.

Наприклад:

$\sqrt{7+4\sqrt3}=\sqrt{7+\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{7+\sqrt{49-48}}{2}}+\sqrt{\frac{7-\sqrt{49-48}}{2}}=\sqrt4+\sqrt3=2+\sqrt3$