Перестановки, розміщення, комбінації.

Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з усіх цих елементів. Причому, дві такі множини називають різними, якщо вони відрізняються порядком елементів.

Обчислюючи перестановки, визначається, скількома різними способами можна перевпорядкувати елементи множини, не змінюючи їхньої кількості.

Кількість перестановок позначається як P_n, де n — кількість елементів множини.

Перестановки обчислюються за формулою P_n=n!

Якщо дана множина із двох елементів {a; b}, то з цієї множини можна скласти дві впорядковані вибірки: a;b і b;a.

Із двох елементів (n=2) можна скласти 2 перестановки, тобто P₂=2!=1⋅2.

Якщо дано 3 елементи {a; b; c} то розміщення такі:

1. a;b;c 3. b;a;c 5. c;a;b

2. a;c;b 4. b;c;a 6. c;b;a

Дані елементи можна перевпорядкувати 6 способами, тобто P₃=3!=1⋅2⋅3=6.

У завданнях на перестановки неважливо називати самі перестановки, а важливо називати їхню кількість.

Приклад:

Завдання 1. Скількома різними способами можна скласти список учнів із 6 людей?

Розв'язання

P₆=6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720

Відповідь: список учнів можна скласти 720 різними способами.

Розміщенням із n елементів по m елементів (m≤n) називається впорядкована вибірка елементів m із даної множини елементів n.

Кількість розміщень із n елементів по m елементів (читається як «розміщення з n елементів по m елементів») і позначається

m показує кількість елементів розміщення (скільки елементів вибирається)

n показує кількість елементів даної множини

Розміщення обчислюються за формулою:

Приклад:

Завдання 2. Скільки двозначних чисел можна скласти з цифр 2;3;4;5;6 (якщо цифри не повинні повторюватися)?

Розв'язання

Вибираються 2 елементи з множини 5 елементів.
У даному випадку n=5 (тому дана множина з 5 цифрами), а m=2 (тому потрібно вибрати 2 цифри для числа).

За формулою:

Відповідь: із даних цифр можна скласти 20 двозначних чисел із різними цифрами.

Комбінацією з n елементів по m елементів (m≤n) називається вибірка m елементів із даної невпорядкованої множини.

Кількість комбінацій позначається

(читається: комбінації з n по m).

Комбінації обчислюються за формулою:

Завдання 3. Скількома способами із 12 учнів можна вибрати 3 учні?

Розв'язання
Оскільки порядок вибору учнів неважливий, потрібно обчислити комбінації по 3 елементи з 12 елементів, тобто n=12 і m=3.

Відповідь: трьох учнів із 12 можна вибрати 220 різними способами.
Приклад: Із 6 людей (2 жінки та 4 чоловіка) потрібно вибрати 1 жінку і 2 чоловіка. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання

Оскільки порядок вибору неважливий (зрештою команда буде тією самою), потрібно обчислити, скількома способами з 2 жінок можна вибрати 1, а з 4 чоловіків — двох.

Кількість комбінацій жінок (n=2 і m=1)

Кількість комбінацій чоловіків (n=4 і m=2)

Щоб отримати відповідь, використовується закон множення:

Відповідь: із даних людей 1 жінку і 2 чоловіків можна вибрати 12 різними способами.

Опрацювавши теоретичний матеріал, переходьте до виконання тестового завдання.

Бажаю успіхів!