Парна і непарна функція

Парна функція

Функцію y = f (x) називають парною, якщо справджується рівність f(-x) = f(x).

Наприклад 1: дослідити на парність функцію $у=x^2$

Розв'язання: $f(-x)=(-x)^2=x^2\implies f(-x)=f\left(x\right)$, а отже функція є парною.

Наприклад 2: дослідити на парність функцію $y=\sqrt{x^2+1}$

Розв'язання: $f\left(-x\right)=\sqrt{\left(-x\right)^2+1}=\sqrt{x^2+1}\implies f\left(-x\right)=f\left(x\right)$, а отже функція є парною.

Непарна функція

Функцію y = f (x)називають непарною, якщо справджується рівність

f(-x) = -f(x).

Наприклад 1: дослідити функцію $y=\frac{6}{x}$ на парність.

Розв'язання: $f\left(-x\right)=\frac{6}{-x}=-\frac{6}{x}\implies f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, а отже дана функція є непарною.

Наприклад 2: дослідити функцію $y=x\left\vert x\right\vert$ на парність

Розв'язання: $f\left(-x\right)=-x\left\vert-x\right\vert=-x\left\vert x\right\vert\implies f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$, а отже дана функція є непарною.

Властивості парних та непарних функцій

Якщо графік функції y=f(x) симетричний відносно осі ординат, то y=f(x) – парна функція.

Якщо графік функції y=𝑓(𝑥) симетричний відносно початку координат, то y=𝑓(𝑥) – непарна функція.

Ні парна, ні непарна функції

Якщо жодна з умов не виконується, тобто f(-x) = f(x) або f(-x) = -f(x), або графіки функцій не симетричні відносно початку координат чи осі ординат то функцію називають ні парною, ні непарною.