Обернені тригонометричні функції

$\arcsin a$це таке число з проміжку $\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$, синус якого дорівнює $a$, причому $\left\vert a\right\vert<0$.

Наприклад:

$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$

$\arcsin1=\frac{\pi}{2}$

$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}$

Графік функції у=arcsin x

Властивості:

1. Область визначення $D\left(y\right)=\left\lbrack-1;1\right.\rbrack$

2. Область значень $E\left(y\right)=\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$

3. Функція зростає на всій області визначення

4. Функція непарна. $\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x$

$\sin\left(\arcsin a\right)=a,\left\vert a\right\vert\le1$

Наприклад.

№ 1. Знайдіть $\sin\left(\arcsin\frac25\right)$

Розв'язання: $\sin\left(\arcsin\frac25\right)=\frac25$

№ 2. Знайдіть $\cos\left(\arcsin\frac{12}{13}\right)$

Розв'язання: Нехай $\arcsin\frac{12}{13}=\gamma$. Тоді за означенням арксинуса маємо, що $\sin\gamma=\frac{12}{13}і\gamma\in\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$. Отже $\cos\gamma\ge0$.

$\cos\gamma=\sqrt{1-\sin^2\gamma}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$

Отже, $\cos\left(\arcsin\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}$

Арккосинусом числа $a,де\left\vert a\right\vert\le1$, називають таке число з проміжку $\left\lbrack0;\pi\right\rbrack$, косинус якого дорівнює $a$.

Наприклад, $\arccos\frac12=\frac{\pi}{3}$, $\arccos0=\frac{\pi}{2}$

Графік функції $y=\arccos x$

Властивості :

1. Область визначення $D\left(y\right)=\left\lbrack-1;1\right\rbrack$

2. Область значень $E\left(y\right)=\left\lbrack0;\pi\right\rbrack$

3. Функція спадає на всій області визначення.

4. $\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x$

$\cos\left(\arccos a\right)=a,\left\vert a\le1\right\vert$

Наприклад.

$\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\pi-\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$

$\cos\left(\arccos\frac{7}{11}\right)=\frac{7}{11}$

$\sin\left(\arccos\left(\frac35\right)\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\arccos\left(\frac35\right)\right)}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45$

Арктангенсом числа $a$ називають таке число з проміжку $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$, тангенс якого дорівнює $a$

Наприклад, $ar\ctg1=\frac{\pi}{4}$

Графік функції $y=ar\ctg x$

Властивості функції:

1. Область визначення $D\left(y\right)=R$

2. Область значень $E\left(y\right)=\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$

3. Функція непарна $ar\ctg\left(-x\right)=-ar\ctg x$

$\tg\left(ar\ctg a\right)=a$

Наприклад

$ar\ctg\left(-\sqrt3\right)=-ar\ctg\sqrt3=-\frac{\pi}{3}$

$\tg\left(ar\ctg5\right)=5$

Арккотангенс числа $a$ називають таке число зпроміжку $\left(0;\pi\right)$, котангенс якого дорівнює $a$

Позначається $arc\ctg a$

Графік функції у=arcctg x

Властивості функції:

1. Область визначення $D\left(y\right)=R$

2. Область значень $E\left(y\right)=\left(0;\pi\right)$

3. Функція спадає на всій області визначення

4. $arc\ctg\left(-a\right)=\pi-arc\ctg a$

5. $\ctg\left(arc\ctg a\right)=a$

6. $ar\ctg a+arcc\tg a=\frac{\pi}{2}$

Наприклад

$\ctg\left(arc\ctg8\right)=8$