Обернені тригонометричні функції

$\arcsin a$це таке число з проміжку $\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$, синус якого дорівнює $a$, причому $\left\vert a\right\vert<0$.

Наприклад:

$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$

$\arcsin1=\frac{\pi}{2}$

$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}$

Графік функції у=arcsin x

Властивості:

1. Область визначення $D\left(y\right)=\left\lbrack-1;1\right.\rbrack$

2. Область значень $E\left(y\right)=\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$

3. Функція зростає на всій області визначення

4. Функція непарна. $\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x$

$\sin\left(\arcsin a\right)=a,\left\vert a\right\vert\le1$

Наприклад.

№ 1. Знайдіть $\sin\left(\arcsin\frac25\right)$

Розв'язання: $\sin\left(\arcsin\frac25\right)=\frac25$

№ 2. Знайдіть $\cos\left(\arcsin\frac{12}{13}\right)$

Розв'язання: Нехай $\arcsin\frac{12}{13}=\gamma$. Тоді за означенням арксинуса маємо, що $\sin\gamma=\frac{12}{13}і\gamma\in\left\lbrack-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right\rbrack$. Отже $\cos\gamma\ge0$.

$\cos\gamma=\sqrt{1-\sin^2\gamma}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{169}{169}-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$

Отже, $\cos\left(\arcsin\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}$