Нерівності та системи нерівностей НМТ

Загальний вигляд квадратних нерівностей, це ax²+bx+c>0(<0,≤0,≥0),деa≠0.

Множину розв'язків квадратної нерівності легко визначити, приблизно накресливши графік функції y=ax²+bx+c (параболу).

Кроки розв'язання квадратної нерівності:

1. Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв'язання рівняння ax²+bx+c=0.

2. Враховуючи кількість коренів і знак коефіцієнта a, креслиться графік параболи.

Зверни увагу!

Якщо a>0, гілки параболи спрямовані вгору, якщо a<0, тоді вниз.

Порада: якщо хочеш, щоб гілки параболи завжди були спрямовані вгору, у випадках, коли a<0, треба спочатку обидві частини нерівності помножити на (−1). Не забудь, що на протилежний поміняється знак нерівності.

3. Обираються порожні або зафарбовані точки, в залежності від вигляду знака нерівності:

∙

4. Зафарбовується правильний інтервал.

5. Записується відповідь.

Зручно при розв'язанні квадратних нерівностей використовувати метод інтервалів.

Розглянемо етапи методу інтервалів:
- знаходять корені квадратного тричлена ax²+bx+c і розкладають на множники;
- відзначають на числовій прямій корені тричлена і знаходять знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі;
- обирають інтервал, відповідний знаку нерівності і записують відповідь.

Приклад:

Розв'язати нерівність. 2x²⁻7x−4≤0

Розв'язання. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x²−7x−4

і розкладемо його на множники за формулою ax²+bx+c=a(x−x₁ )(x-х₂)

Зазначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти по одному значенню і підставити замість x у тричлен.

На інтервалі (−∞;−0,5] візьмемо x=−2, тоді 2⋅(−2)²−7⋅(−2)−4=2⋅4+14−4=18>0

На інтервалі [−0,5;4] візьмемо x=0, тоді 2⋅0²−7⋅0−4=0−0−4=−4<0

На інтервалі [4;+∞) візьмемо x=5, тоді 2⋅5²−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0

Квадратний тричлен приймає від'ємні і рівні нулю значення на інтервалі [−0,5;4].

Відповідь: −0,5≤x≤4

Отримана множина розв'язків нерівності повинна входити в ОДЗ, тому знаходять перетин множин.

Виконати тестування

Домашнє завдання

Виконати тестування

https://www.classtime.com/code/ZG5KZY

Розв'язати вправи додати скриншот зошита

• Установити відповідність між нерівностями та їх розв'язками