Найменше спільне кратне

Найменше спільне кратне

Розв'яжімо таку задачу:

Приклад:

Число діб, через яке вони знову разом підуть у плавання повинне ділитися без остачі на 12 і на 15, тобто має бути кратним цих чисел.

Випишемо числа, кратні 12. Отримаємо: 12;24;36;48;60;72;84;96;108;120;132;...
Випишемо числа, кратні 15. Отримаємо: 15;30;45;60;75;90;105;120;135;...
Загальними кратними чисел 12 і 15 будуть числа: 60;120;...
Найменшим із них є число 60, тобто вперше теплоходи знову разом підуть у плавання тільки через 60 діб.
Число 60 називають найменшим спільним кратним чисел 12 і 15.

Найменшим спільним кратним натуральних чисел m і n називають найменше натуральне число, яке кратне і m, і n.

Найменше спільне кратне позначаємо НСК(m;n).
У цій задачі НСК(12;15)=60

Знаходження найменшого спільного кратного застосовується при виконанні дій додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.
Виконуючи ці дії, зазвичай намагаються знайти найменше спільне кратне знаменників.

Найменше спільне кратне кількох чисел можна також знайти, не виписуючи поспіль кратні цих чисел.

Правило, за яким можна знайти НСК кількох чисел.

1. Розкласти дані числа на прості множники і записати їх, використовуючи поняття степеня.
2. Виписати всі прості числа, які входять хоча б в один із отриманих розкладів.
3. Кожне з виписаних простих чисел взяти з найбільшим із показників степеня, із якими воно входить до розкладання даних чисел.
4. Записати добуток отриманих степенів.

Приклад:

Маємо,

12=2⋅2⋅3=2²⋅3

15=3⋅5.

Із найбільшими показниками — це числа 2²;3¹;5¹.

Тому НСК(12;15)=2²⋅3⋅5=60.

Для будь-яких натуральних чисел a і b правильна рівність:

НСД(a;b)⋅НСК(a;b)=a⋅b

Приклад:

Наприклад:

56=2³⋅7

196=2²⋅7²

НСД(56;196)=2²⋅7=28

НСК(56;196)=2³⋅7²=392

НСД⋅НСК=28⋅392=56⋅196=10976.

Найменше спільне кратне взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.

НСК(7;23)=7·23=161.

З'ясуй НСК(77;20).

Завдання за підручником

Виконати №167(3,5,6)