Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа

Найбільший спільний дільник. Взаємно прості числа

Є 48 цукерок «Чебурашка» і 36 цукерок «Ластівка». Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з цих цукерок?

Знайдемо всі дільники числа 48 і числа 36.
Для числа 48 це: 1;2;3;4;6;8;12;16;24;48.
Для числа 36 це: 1;2;3;4;6;9;12;18;36.
Спільними дільниками цих чисел будуть числа: 1;2;3;4;6;12.
Найбільшим є число 12

Найбільше натуральне число, на яке діляться без остачі числа m і n, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Позначають таке число НСД (m;n).
У цій задачі НСД (48;36)=12.

Найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Правило, як знайти НСД.

1. Розкласти дані числа на прості множники і записати їх, використовуючи поняття степеня.
2. Виписати всі прості числа, які одночасно входять у кожен з отриманих розкладів.
3. Кожне з виписаних простих чисел взяти з найменшим із показників степеня, з якими воно входить до розкладання даних чисел.
4. Записати добуток отриманих степенів.

48=2⋅2⋅2⋅2⋅3=2⁴⋅3

36=2⋅2⋅3⋅3=2²⋅3²

НСД(48;36)=22⋅3=12

Приклад:

Знайдемо НСД(20;27).

Розклавши на прості множники кожне з цих чисел і записавши їх , використовуючи поняття степеня , отримаємо:

20=2⋅2⋅5=2²⋅5

27=3⋅3⋅3=3³

Отже, у даних чисел немає інших спільних множників, крім 1, тобто число 1 — єдиний спільний дільник даних чисел.
НСД(20;27)=1.

Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Числа 20 і 27 — взаємно прості.

Ознака подільності на добуток взаємно простих чисел:

Якщо число ділиться на кожне із взаємно простих чисел, тоді воно ділиться і на їх добуток.

Приклад:

Число 540 ділиться як на 20, так і на 27. Отже, 540 буде ділитися і на їх добуток 540:(20⋅27)=540:540=1.

Чи є числа 35 і 28 взаємно простими, якщо їх розкладання на прості множники таке:

35=5⋅7

28=2⋅²⋅7?

Знайди НСД(36;45).

Відповідь: НСД(36;45) =

Для спортивної команди купили майок 92 шт. і футболок 207 шт.
Знайди найбільшу кількість спортсменів у команді, якщо кожен отримає однаковий набір одягу та будуть використані всі речі? Скільки майок і футболок разом було в кожному наборі одягу?