Найбільший спільний дільник

Задача:

У шостих класах навчається 48 дівчаток і 36 хлопчиків. Яку найбільшу кількість команд для участі в змаганнях із легкої атлетики можна сформувати з цих учнів, якщо всі вони повинні взяти участь у змаганнях і в кожній команді має бути однакова кількість дівчаток і хлопчиків?

Кожне із чисел 48 і 36 має ділитися на кількість команд. Випишемо всі дільники числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 і усі дільники числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Спільними дільниками (їх підкреслено) чисел 48 і 36 є числа 1, 2, 3, 4, 6, 12, а найбільшим з них - 12. Тобто 12 - найбільший спільний дільник чисел 48 і 36. Отже, можна сформувати 12 команд, у кожній команді буде 4 дівчаткі і 3 хлопчика.

Сьогодні на уроці ми навчимося знаходити найбільший спільний дільник кількох чисел.

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне із цих чисел.

Найбільший спільний дільник чисел $a$ і $b$ позначают так: НСД$\left(a;b\right)$.

Для попередньої задачі можна записати, що НСД(48;36) = 12.

Найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних множників розкладу цих чисел.

Задача:

Знайти НСД(630; 1470).

Розв'язання.

Розкладемо числа 630 і 1470 на прості множники і підкреслимо ті з них, які є спільними в обох розкладах:

630 = 2$\cdot$3$\cdot$3$\cdot$5$\cdot$7

1470 = 2$\cdot$3$\cdot$5$\cdot$7$\cdot$7

Отже, НСД (630; 1470) = 2$\cdot$3$\cdot$5$\cdot$7 = 210.

Відповідь: 210.

Правило знаходження НСД кількох чисел

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел, достатньо:

1) розкласти ці числа на прості множники;

2) виписати всі спільні прості множники у знайдених розкладах і обчислити їхній добуток.

Якщо серед даних чисел є дільник усіх інших з даних чисел, то він і буде найбільшим спільним дільником цих чисел.

Задача:

Знайти НСД (8; 64; 320).

Розв'язання:

Оскільки числа 64 і 320 діляться на 8, то НСД (8; 64; 320) = 8.

Відповідь: 8

Якщо розклади чисел на прості множники не мають спільних множників, то найбільшим спільним дільником цих чисел є число 1.

Два натуральних числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називають взаємно простими числами.

Наприклад, числа 12 і 35 - взаємно прості, адже НСД(12; 35) = 1. Числа ж 15 і 18 не є взаємно простими, бо мають спільний дільник - число 3.