Логарифмічні рівняння

Найпростішим логарифмічним рівнянням вважають рівняння виду $\log_{a}x=b$, де $a>0,a\ne0$.

Таке рівняння завжди має єдиний корінь. Який можна знайти, скориставшись означенням логарифма.

$x=a^{b}$

Наприклад

№ 1

$\log_5x=3$

$x=5^3$

$x=125$.

Відповідь: 125

№ 2

$\lg x=-3$

$x=10^{-3}=\frac{1}{1000}$

$x=0,001$

Відповідь: 0,001.

Якщо з припущення, що перша рівність правильна , випливає правильність кожної намступної дії, то одержуємо рівняння - наслідок.

При використанні можлива поява сторонніх коренів. Тому обов'язково потрібно робити перевірку коренів або знаходити ОДЗ

Наприклад

№ 1

$\log_{x}\left(6-x\right)=2$

$6-x=x^2$

$x^2+x-6=0$

$x_1=-3,x_2=2$

При перевірці коренів маємо, що х=-3 - є стороннім коренем ( в основі не може бути від'ємне число)

Відповідь х=2

Розв'яжемо логарифмічне рівняння

$2\log_2x-\log_2\left(3x-4\right)=1$

Розв'яжемо дане рівняння за допомогою наслідків. Головне, не забути, що потім потрібно зробити перевірку коренів.

$\log_2x^2-\log_2\left(3x-4\right)=\log_22$

$\log_2\frac{x^2}{3x-4}=\log_22$

$\frac{x^2}{3x-4}=2$

$x^2=6x-8$

$x^2-6x+8=0$

$x_1=2;x_2=4$

Перевірка коренів При підстановці кожне значення задовольняє умову рівняння.

Відповідь : 2 ; 4.