Логарифм числа.Основні логарифмічні тотожності.Тотожні перетворення логарифмічних виразів.

Показникове рівняння вигляду 3^x=5 можна розв'язати за допомогою введення нового символу log₃5, тоді, корінь рівняння x= log₃5 (логарифм числа 5 за основою 3).

Логарифмом додатного числа b за додатною і відмінною від 1 основою a

називають показник степеня, до якого потрібно піднести число a, щоб отримати число b (log_ab= c, a^c=b, де  a>0,a≠1,b>0)

Приклад:

1. log₃9= 2, оскільки 3²=9

Зверни увагу!

Для будь-якого a>0,a≠1:

log_aa=1

log_a1=0

log_a(a^b)=b

Приклад:

log₈8=1, оскільки 8¹=8

log₂₅1=0, оскільки 25⁰=1

Логарифм з основою 10 називають десятковим логарифмом, замість 

log₁₀b пишуть lgb.

Логарифм з основою е, де е - ірраціональне число, приблизно дорівнює 2,7, називають натуральним логарифмом. Замість 

log_eb пишуть lnb.

Розглянемо деяку властивість логарифма:

a^log_ab=b, де b>0,a>0,a≠1.

Цю рівність називають основною логарифмічною тотожністю

Основні властивості логарифмів

Розглянемо основні властивості логарифмів, які застосовуються при обчисленнях, при розв'язанні логарифмічних рівнянь і нерівностей.
Властивості, наведені нижче, виконуються, якщо a>0,a≠1,b>0,c>0,r - будь-яке дійсне число.

1. Логарифм від 1 за будь-якою основою дорівнює 0

log_a1=0

Приклад:
1. log₂1=0;

2. log₁₅ 1=0;

2. Логарифм від числа за тією ж основою дорівнює 1.

log_aa=1

Приклад:

1. log₅5=1;

2. log_0.750.75=1;

3. Логарифм добутку двох додатних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел

log_a(bc)=log_ab+log_ac

Приклад:

1.log₃45=log₃(9⋅5)=log₃9+log₃5=2+log₃5

2.log₆4+log₆9=log₆36=2

3.lg2+lg5=lg(2⋅5)=lg10=1