Логарифм числа

Логарифмом додатного числа b з основою a, де a > 0, a ≠ 1, є показник степеня n, до якого потрібно піднести число a, щоб отримати число b. Тобто , $a^{n}=b$. Логарифм додатного числа b з основою a, де a > 0, a ≠ 1, позначають $\log_{a}b$

Використовуючи означення , маємо $a^{\log_{a}b}=b$ Ця рівність називається основною логарифмічною тотожністю.

Наприклад, $\log_5125=3$, тому що $5^3=125$

$\log_416=2$, тому що $4^2=16$

$\log_{\frac12}8=-3$, тому що $\left(\frac12\right)^{-3}=8$. Використовуючи означення логарифму , маємо $\log_88=1$, а $\log_31=0$.

Використовуючи основну логарифмічну тотожність, отримаємо :

$9^{\log_95}=5$, а $14^{\log_{14}\pi}=\pi$

Для розв'язування завдань з логарифмами необхідно вивчити властивості логарифмів. Обов'язкові умови $a>0,a\ne0,b>0,x>0,y>0$

• $a^{\log_{a}b}=b$

• $\log_{a}1=0$

• $\log_{a}a=1$

• $\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}\left(xy\right)$

• $\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$

• $\log_{a}b^{n}=n\log_{a}b$

• $\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_{a}b$

• $\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}=\log_{a}b$

• $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

• $c=\log_{a}a^{c}$

• $\log_{a}b\cdot\log_{b}c=\log_{a}c$

Запиши в зошит та вивчи їх

№1 Обчислити

$\log_612+\log_63=\log_6\left(12\cdot3\right)=\log_636=2$

$\log_5250-\log_52=\log_5\frac{250}{2}=\log_5125=3$

№2 Розв'яжи рівняння

$\log_4x=3$

Розв'язання: За означенням логарифму $x=4^3=64$

Відповідь: 64.

№3 Обчислити

$\log_{2-\sqrt3}\left(2+\sqrt3\right)$

Так як $\left(2-\sqrt3\right)\cdot\left(2+\sqrt3\right)=4-3=1$, то $2+\sqrt3=\frac{1}{2-\sqrt3}=\left(2-\sqrt3\right)^{-1}$

Отже, $\log_{2-\sqrt3}\left(2+\sqrt3\right)=\log_{2-\sqrt3}\left(2-\sqrt3\right)^{-1}=-1\cdot\log_{2-\sqrt3}\left(2-\sqrt3\right)=-1\cdot1=-1$