Лінійне рівняння. Властивості рівнянь.

Ви починаєте вивчати новий предмет, який називається алгебра. Його започаткував видатний середньоазіатський вчений Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі у ІХ столітті.

Його трактат як раз був присвячений способам розв'язування рівнянь. Слово "аль-джебр" арабською мовою, що означає відновлення, перетворилося на назву математичної галузі.

З курсу математики 5-6 класів ви знаєте, що  рівнянням називають рівність, яка містить змінну.

Коренем рівняння називають число, яке при підстановці його замість змінної (букви) перетворює рівняння на правильну числову рівність.

Корінь рівняння ще називають розв'язком рівняння.

Розв'язати рівняння - це означає знайти всі його корені або переконатися, що їх взагалі немає.

Властивості рівнянь:

1. Корені рівняння не зміняться, якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу , змінивши при цьому його знак на протилежний.

2. Корені рівняння не зміняться, якщо обидві його частини помножити або поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю.

Рівняння виду ax = b, де x - змінна, a і b - деякі числа, називають лінійним рівнянням з однією змінною.

Кількість коренів лінійного рівняння залежить від значень a і b.

1) Якщо а ≠ 0, то корінь рівняння х = b/a.

2) Якщо а =0, b = 0, то рівняння х · 0 = 0 має безліч коренів, тобто х - будь-яке число.

3) Якщо а = 0, b≠ 0, то рівняння х · 0 = а не має розв'язку.

Наведемо приклади розв'язування рівнянь:

1) 2х+6 = 9х+7.

Зберемо в лівій частині рівняння доданки, які містять змінну, а в правій - які не містять змінну. Перенесемо 9х вліво з протилежним знаком, а 6 - вправо з протилежним знаком:

2х-9х = 7 -6

-7х = 1

х = - 1/7

Відповідь: -1/7

2) 7х+8 -9х = -44+11х -25

7х - 9х - 11х = -44 -25 -8

- 13х = -77

х = -77 : (-13)

х =

Відповідь :

3)

4) 8 (7х - 3) = -48 (3х + 2)

Поділемо обидві частини рівняння на 8:

7х - 3 = -6 (3х + 2)

7х - 3 = -18х - 12

7х +18х = 3 -12

25х = -9

х = - 9/25 = - 0,36

Відповідь: -9/25 = - 0,36.

5) (4х - 1,6)(8 + х) = 0

Добуток кількох множників дорівнює нулю, коли принаймні один з множників дорівнює нулю. Тому

4х - 1,6 =0 або 8 + х =0

4х = 1,6 х = -8

х = 1,6 : 4

х = 0,4

Відповідь: х =0,4; х = - 8.

6) |3х+4|=2

Існують тільки два числа, модулі яких дорівнюють 2. Це 2 і -2. Тоді

3х + 4 = 2 або 3х + 4 = -2

3х = 2-4 3х = -2 -4

3х = -2 3х = -6

х = - 2/3 х = -6/3 = -2

Відповідь: х = - 2/3; х = -2.

7) |х|+3х = 12

Пригадаємо означення модуля х:

|х| = х, якщо х >0

|х|= -x, якщо х < 0.

Тоді маємо:

Нехай х >0 або х < 0

х +3х = 12 або -х +3х = 12

4х = 12 2х = 12

х = 12 : 4 х = 12 : 2

х = 3 х = 6 (6 >0, а в умові х < 0, то 6 не є коренем рівняння )

Відповідь: х =3.

Які з наведених рівнянь є лінійними:

(дати відповідь так/ні)

1) 3х = 6;

2) х = 4;

3) х²= 4;

4) |х| = 2;

5) 4/х =2;

6) 1/4 х =2;

7) х=0;

8) 0х = 8.

Розв'яжіть рівняння:

1) -7х+2 = 3х -1;

2) 0,2х + 3,4 = 0,6х -2,6;

3) 0,8 - (1,5х -2) = -0,8 +4,5х.

Розв'яжіть рівняння:

1) х(5 - 0,2х) = 0;

2)

3) |х-5| = 4.

1) Розв'яжіть рівняння:

|х| - 4х =9;

2) При яких цілих значеннях а корінь рівняння х +7а = 9 є цілим числом, яке ділиться націло на 2?