Квадратична функція

Що таке квадратична функція?

Квадратична функція — це функція, яку можна задати формулою y = ax² + bx + c, де x — незалежна змінна, a, b, c — задані числа (коефіцієнти), причому a не дорівнює 0.
Якщо коефіцієнт a дорівнював би нулю, то старший член ax² зникнув би, і функція перетворилася б на звичайну лінійну. Тому головна умова існування квадратичної функції — ненульовий старший коефіцієнт.

Графік функції — парабола

Графіком будь-якої квадратичної функції є крива лінія, яка називається параболою. Її ключові особливості:

• Напрям віток: якщо a > 0, вітки параболи спрямовані вгору (функція має мінімальне значення); якщо a < 0 — вниз (має максимальне значення).

• Вершина параболи: найвища або найнижча точка графіка, координата якої обчислюється за формулою

• Вісь симетрії: вертикальна пряма x = х ₀, що проходить через вершину та ділить параболу на дві симетричні частини.

Основні властивості

• Область визначення: множина всіх дійсних чисел

• Нулі функції: точки перетину графіка з віссю абсцис (Ox), які знаходять шляхом розв'язання рівняння ax^2 + bx + c = 0 через дискримінант D = b² - 4aс.

• Множина значень: залежить від напряму віток. Наприклад, якщо вітки спрямовані вгору, множина значень є проміжком від ординати вершини до нескінченності

Практичне застосування

Квадратичні функції та параболи відіграють величезну роль не лише в математиці, а й у реальному житті. Траєкторія польоту м'яча чи фонтана, форма супутникових антен, автомобільних фар і підвісних мостів — усе це описується рівняннями квадратичної функції.