Квадратний тричлен та його корені. Розкладання квадратного тричлена на множники

Квадратний тричлен

Вираз виду $ax^2+bx+c$ , $\left(a\neq0\right)$ називають квадратним тричленом.

Корінь квадратного тричлена

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю.

Корені квадратного тричлена $ax^2+bx+c$ є коренями відповідного квадратного рівняння $ax^2+bx+c=0$.

Залежно від значення дискримінанта квадратний тричлен може мати корені:

$D>0$ - два різні корені

$D=0$ - один корінь

$D<0$ - жодного кореня

Формула для обчислення дискримінанта: $D=b^2-4ac$

Формули для знаходження коренів:

$D>0$ - $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ і $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

$D=0$ - $x=-\frac{b}{2a}$

Формула розкладання квадратного тричлена на множники

$ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

де $a\neq0$, $x_1$ і $x_2$ - корені тричлена $ax^2+bx+c$

Алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

1. Знайти корені квадратного тричлена

2. Якщо рівняння має корені і $x_1\neq x_2$ то $\implies ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x_{}-x_2\right)$

3. Якщо рівняння має два однакові корені $x_1=x_2$ , то $\implies ax^2+bx+c=a\left(x-x_0\right)^2$

   ---

Наприклад:

Розкласти на множники тричлен $x^2-5x+6$

1. Прирівнюємо тричлен до нуля $x^2-5x+6=0$ ,

   $a=1,b=-5,c=6$

2. Шукаємо дискримінант $D=b^2-4ac=$, $D=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot6=1$$D>0$ рівняння має два корені.

3. $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+1}{2}=3$, $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-1}{2}=2$

4. За формулою $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ розкладемо тричлен на множники $x^2-5x+6=\left(x-3\right)\left(x-2\right)$.