Квадратні нерівності.

Загальний вигляд квадратних нерівностей, це ax²+bx+c>0(<0,≤0,≥0),деa≠0.

Множину розв'язків квадратної нерівності легко визначити, приблизно накресливши графік функції y=ax²+bx+c (параболу).

Кроки розв'язання квадратної нерівності:

1. Визначаються точки перетину параболи і осі x за допомогою розв'язання рівняння ax²+bx+c=0.

Якщо  D>0,у рівняння два різних кореня,парабола перетинає вісь x у двох точках.

Якщо  D=0,у рівняння два однакових кореня,вершина параболи знаходиться на осі x.

Якщо  D<0,у рівняння немає коренів, парабола не перетинає вісь x.

2. Враховуючи кількість коренів і знак коефіцієнта a, креслиться графік параболи.

Зверни увагу!

Якщо a>0, гілки параболи спрямовані вгору, якщо a<0, тоді вниз.

Порада: якщо хочеш, щоб гілки параболи завжди були спрямовані вгору, у випадках, коли a<0, треба спочатку обидві частини нерівності помножити на (−1). Не забудь, що на протилежний поміняється знак нерівності.

3. Обираються порожні або зафарбовані точки, в залежності від вигляду знака нерівності:

∙ якщо стоїть знак нестрогої нерівності ≤ або  ≥

о, якщо стоїть знак строгої нерівності < або <

4. Зафарбовується правильний інтервал.

5. Записується відповідь.

Приклад:

Розв'язати квадратну нерівність −2x²+4x−5≤0

Розв'язання:

−2x²+4x−5≤0∣∣⋅(−1)

2x²−4x+5≥0

D=16−4⋅2⋅5=−24 парабола не перетинає вісьOx

За малюнком видно, що графік додатний будь-якому значенню x

Відповідь:  x∈(−∞;+∞)абоx∈R

Розв’язувaння квaдрaтичних нерівностей метод інтервaлів

Зручним методом розв’язувaння квaдрaтичних нерівностей (і нерівностей вищих степенів) у випaдку, коли квaдрaтний тричлен, що стоїть у лівій чaстині нерівності, можнa розклaсти нa лінійні множники, є метод інтервaлів.

Нехaй зaдaно квaдрaтичну нерівність. Розклaдемо квaдрaтний тричлен нa лінійні множники. Уведемо квaдрaтичну функцію, що відповідaє цьому тричлену.

Облaстю визнaчення тaкої функції є множинa всіх дійсних чисел.

Знaйдемо нулі функції, прирівнявши кожен лінійний множник, що містить змінну, до нуля.

Нaнесемо нулі функції нa числову пряму; вони розіб’ють її нa числові проміжки. Нa кожному з цих проміжків кожен лінійний множник мaє певний знaк. Зa допомогою цих знaків з’ясуємо, який знaк мaє функція нa кожному з проміжків (зaувaжимо, що нa кожному проміжку функція зберігaє знaк).

Обирaємо ті проміжки, де функція нaбувaє знaчення, які відповідaють зaдaній нерівності.

У відповідь зaписуємо, що зміннa нaлежить об’єднaнню обрaних проміжків aбо проміжку.

Приклад:

Розв'язати нерівність. 2x²−7x−4≤0

Розв'язання. Знайдемо корені квадратного тричлена 2x²−7x−4

і розкладемо його на множники за формулою ax²+bx+c=a(x−x1)(x+x1)

2x²−7x−4=0

D=b²−4ac=(−7)²−4⋅2⋅(−4)=49+32=81

x1=−b−D−−√2a=−(−7)−81−−√2⋅2=7−94=−24=−12=−0,5

x2=−b+D−−√2a=−(−7)+81−−√2⋅2=7+94=164=4

2x²−7x−4=2(x+0,5)(x−4)

2(x+0,5)(x−4)=0|:2

(x+0,5)(x−4)=0

x1=−0,5 x2=4

Зазначимо на числовій прямій корені і знайдемо знаки квадратного тричлена на кожному інтервалі.
Для цього з кожного інтервалу достатньо взяти по одному значенню і підставити замість x у тричлен.

На інтервалі (−∞;−0,5] візьмемо x=−2 ,тоді 2⋅(−2)²−7⋅(−2)−4=2⋅4+14−4=18>0

На інтервалі [−0,5;4] візьмемо x=0 ,тоді 2⋅0²−7⋅0−4=0−0−4=−4<0

На інтервалі  [4;+∞) візьмемо x=5 ,тоді 2⋅5²−7⋅5−4=2⋅25−35−4=50−39=11>0

Квадратний тричлен приймає від'ємні і рівні нулю значення на інтервалі [−0,5;4].

Відповідь: −0,5≤x≤4

Розв’язування квадратних нерівностей можна звести

до знаходження проміжків, на яких квадратична функція

y = ax² + bx + c набуває додатних, недодатних, від’ємних

або невід’ємних значень. Такий метод розв’язування

нерівностей 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 за

допомогою графіка функції називають графічним.

Приклад №1 Які з чисел -2; 0; 1 є розв'язками нерівності x²- x-2<0 ?

На малюнку зображено графік функції y=x²+4x-5 . Знайдіть множину розв'язків нерівності : а) x²+ 4x – 5 < 0; б) x² + 4x – 5≤ 0; в) x²+ 4x – 5>0; г)x² + 4x – 5 ≥ 0.

На рисунку зображено графік функції y = – 3x² – 6x.

Знайдіть множину розв’язків нерівності

1) – 3x² – 6x < 0;

2) – 3x² – 6x≤ 0;

3) – 3x² – 6x >0;

4) – 3x² – 6x≥ 0.

На рисунку зображено графік функції y =– x² + 2x – 2.

Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) – x² + 2x – 2< 0;

2) – x² + 2x – 2≤ 0;

2) – x² + 2x – 2≤ 0;

4) – x² + 2x – 2≥ 0.

Розв'яжіть нерівність :

1) x²+4x+3<0

2) x²-3x+2<0

3) -x²+12x+45<0

4) -3x²-5x-2>0

5) 5x²-3x+1>0

6) 1/3x²-2x+3<0

7) x(x+5)-2<4x

8) 5x(x+4)-(2x-3)(2x+3)>30

Знайдіть цілі розв'язки нерівності :

1) x²-10<0

2) -1/4x²+x+3>0

3) 6x²+x-2<0

Виконати завдання за посиланням. Бажаю успіху !!!

https://learningapps.org/1946330